¿Cómo puedo integrar esta función? $\frac{\sqrt{e^{2x+2y+z}}}{(1+e^x+e^y+e^{x+y+z})^2}$

Question

Quiero evaluar la siguiente integración

$$ \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \int_{-\infty}^{\infty} dz \frac{\sqrt{e^{2x+2y+z}}}{(1+e^x+e^y+e^{x+y+z})^2}. $$

Según Mathematica12, la respuesta es $\pi^2$ . ¿Cómo puedo obtener la respuesta?

Answer 1

Dejemos que $x= \ln X$ , $y=\ln Y$ y $z=2\ln Z$ . Entonces $$ I = \int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{XYZ}{(1+X+Y+XYZ^2)^2} \frac{dX}{X}\frac{dY}{Y}\frac{2\cdot dZ}{Z}.$$ Se trata de una función racional, por lo que se puede integrar fácilmente. Por ejemplo, integrar primero contra X: $$ I = 2\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{1}{1+YZ^2}\frac{1}{1+Y}dY dZ. $$ A continuación, integre contra $Z$ : $$ I = 2\int_0^\infty \frac{\pi}{2\sqrt{Y}}\frac{1}{1+Y}dY . $$ Entonces, dejemos que $u=\sqrt{Y}$ para obtener $$I= \pi\int_0^\infty \frac{2u }{u}\frac{1}{1+u^2}du=\pi^2.$$

Answer 2

Esto no es una respuesta.

Para la integral más interna, la antiderivada no está tan mal. Esperando que no haya errores $$I=\int \frac{\sqrt{e^{2(x+y)+z}}}{(1+e^x+e^y+e^{x+y+z})^2}\,dz$$ $$I=\frac{\sqrt{e^{2( x+ y)+z}}}{\left(1+e^x+e^y\right) \left(1+e^x+e^y+e^{x+y+z}\right)}+\frac{\sqrt{e^{x+y}}}{\left(1+e^x+e^y\right)^{3/2}}\tan^{-1} \left(\sqrt{\frac{e^{x+y+z}}{1+e^x+e^y} }\right)$$ El problema es para la integral definida.

Si eres capaz de encontrarlo, puede que el siguiente sea más fácil.