Correlación con $\theta$ y con $e^{i\theta}$

Question

Tengo un procedimiento para generar un número complejo aleatorio $z=|z|e^{i\theta}$ (el procedimiento es bastante complicado, pero irrelevante para la pregunta). Quiero comprobar si el módulo y el argumento están correlacionados o no.

He generado $10^5$ muestras. Luego le pido a matlab el coeficiente de correlación lineal de Pearson de $|z|$ y $\theta$ y me da $0.0008$ . En efecto, esta cifra es bastante pequeña, por lo que concluyo que no hay correlación.

Sin embargo, cuando pido el coeficiente de correlación de $|z|$ y $e^{i\theta}$ Me sale $0.15$ que en realidad no es tan pequeño.

No estoy muy familiarizado con las estadísticas, así que tal vez mi intuición esté equivocada. ¿Pero el coeficiente de correlación no debería ser pequeño en ambos casos? ¿Puede $|z|$ estar correlacionado con $e^{i\theta}$ sin estar correlacionado con $\theta$ ?

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He observado más detenidamente el histograma de la distribución conjunta de $|z|$ y $\theta$ y concluyó que efectivamente NO son independientes, aunque no estén correlacionados. Así que sé entender lo que está pasando.

Answer 1

Por eso, en general, la correlación cero no implica independencia. Si $X$ y $Y$ son independientes, $E[g(X)h(Y)]=E[g(X)]E[h(Y)]$ en todas las situaciones. Pero, no se puede decir sólo teniendo covarianza/correlación cero, es decir $E[XY]=E[X]E[Y]$ .