Formas cuadráticas sobre $\mathbb Q$

Question

Cómo resolver un problema como éste:

Averigüe qué elementos $N \in \mathbb N$ están representados por la forma cuadrática $\left \langle 2,3,2 \right \rangle$ en $\mathbb Q$ .

El formulario es $$ f(x,y,z) = 2 x^2 + 3 y^2 + 2 z^2. $$

¿Tengo que reducirlo modulo todos los primos $p \in \mathbb P\cup \left \{ \infty \right \}$ y utilizar un principio local-global?

Answer 1

EDDDITTTT: Veo que también has preguntado por el símbolo del residuo de la norma de Hilbert. Así que lo mejor que puedes hacer es obtener CASSELS y mira las primeras 60 páginas. Lo que se hace es comenzar con $$ 2 x^2 + 3 y^2 + 2 z^2 = n $$ y cambiar a $$ 2 x^2 + 3 y^2 + 2 z^2 - n t^2 = 0. $$ Te interesa especialmente la tabla del símbolo de la página 43 y las condiciones de isotropía de las páginas 58-59. He pasado por toda la canción y la danza para una respuesta aquí en MSE, creo que era una forma indefinida. Si la encuentro pondré un enlace. Isotropía sobre $p$ -número de radicales

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Todo lo que se necesita está en TERNARIO

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Answer 2

Editar: Esta respuesta suponía (erróneamente) que la pregunta era sobre formas cuadráticas binarias.

Debería leer los primeros capítulos del libro de Cox, "Primes of the form $x^2+ny^2$ ", o el capítulo sobre formas cuadráticas en "Higher Arithmetic" de Davenport. Los pasos básicos son estos:

• En primer lugar, hablaré de la representación en $\mathbb{Z}$ ya que siempre se puede multiplicar por denominadores. La respuesta general difiere de esta por cuadrados.
• El discriminante de la forma es -7. La teoría general muestra que un número $N$ está correctamente representado por algunos forma de discriminante $d$ si y sólo si $d$ es un cuadrado módulo $4|N|$ . Representado correctamente significa representado por coprima $x,y$ . Los números que se representan en algunos manera, correctamente o no, son múltiplos de los correctamente representados por cuadrados (ver primer punto). Así que los dos problemas de la representación y la representación adecuada son fácilmente traducibles el uno al otro.
• Utilice la reciprocidad cuadrática para explicar la condición anterior en el caso $d=-7$ .
• La teoría de la reducción muestra que toda forma de discriminante $d<0$ es equivalente mediante un cambio lineal de variables con determinante 1 a la llamada forma reducida. Las formas que son equivalentes entre sí representan el mismo conjunto de enteros. Las formas reducidas tienen coeficientes agradables y fáciles, entre otras cosas satisfacen $0<a\leq \sqrt{|d|/3}$ y $|b|\leq a$ . Además, $d$ es impar si y sólo si $b$ es, ya que $d=b^2-4ac$ .
• Deducir de la teoría de la reducción que en realidad sólo hay una forma reducida del discriminante -7 (las desigualdades implican que $a=1$ , $b=\pm 1$ pero el $b=-1$ es equivalente al caso $b=1$ caso). Por lo tanto, las condiciones de congruencia que tienes en el tercer punto son en realidad las condiciones necesarias y suficientes para que un número sea adecuadamente representable por la única clase de equivalencia de formas de discriminante -7.

La teoría se vuelve mucho más difícil (e interesante) si hay varias clases de equivalencia del discriminante dado. Además, el discriminante positivo es más difícil, porque la teoría de la reducción es más difícil.