Una función que satisface una condición determinada

Question

¿Existe una función continua de valor real $f$ Satisfaciendo a $f(x+1)(f(x)+1)=1$ para todos $x$ en el ámbito de $f$ (posiblemente $\mathbb{R})$ ? Está claro que la imagen de $f$ no incluye $0$ y $-1$ . Por la continuidad de $f$ y el teorema del valor intermedio, $f$ tiene que ser siempre positivo o siempre negativo ya que de lo contrario habría un cero de $f$ . ¿Esta continuidad en el tiempo $f$ ¿Existe? ¿Y las funciones discontinuas?

Por favor, den una pista para proceder. Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una solución continua. Consideremos la secuencia $f(n)$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Si escribimos $$f(n)=\frac{a_n}{a_{n+1}},\tag{*}$$ por la fórmula de recursión dada, tenemos $$ f(n+1) = \frac{a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}. $$ Esto implica la secuencia $a_n$ es una secuencia de Fibonacci, es decir $a_{n+2} = a_{n+1}+a_n$ . Es bien sabido que la solución general de $a_n$ viene dada por $$ a_n = A\alpha^n + B\beta^n $$ para algunos $A,B\in\mathbb{R}$ donde $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ y $\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Introduciendo esto en la expresión de $(*)$ obtenemos $$ f(n) = \frac{A\alpha^n + B\beta^n}{A\alpha^{n+1} + B\beta^{n+1}}. $$ Supongamos que $A=0$ . Ya que no ambos $A,B$ son $0$ tenemos $f(n) = \beta^{-1}$ . Del mismo modo, $f(n)=\alpha^{-1}$ se mantiene si $B=0$ . Ahora, supongamos que $A$ y $B$ no son cero. Tomando el límite como $n\to\pm\infty$ tenemos $$ \lim_{n\to\infty}f(n) = \alpha^{-1} = -\beta>\frac{1}{2}, $$ y $$ \lim_{n\to-\infty}f(n) =\beta^{-1} = -\alpha<-\frac{3}{2}. $$ Pero esto implica por IVP que existe $c\in\mathbb{R}$ tal que $f(c)=0$ . Dado que esto es imposible como $f(x)\ne 0$ Sólo hay $2$ posibilidades: O bien $f(n) \equiv \alpha^{-1}$ o $f(n)\equiv \beta^{-1}$ . Por último, obsérvese que el argumento anterior se aplica de la misma manera a $f(x+n)$ para la arbitrariedad $x\in \mathbb{R}$ . Esto implica $f(\mathbb{R})\subset \{\alpha^{-1}, \beta^{-1}\}$ . Por la continuidad de $f$ Esto dice que $f$ debe ser una función constante. Por lo tanto, las únicas soluciones continuas de la ecuación son $$ f(x) \equiv \alpha^{-1} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$ o $$ f(x) \equiv \beta^{-1} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}. $$

Nota : Obsérvese que para todos los $n\in\mathbb{Z}$ , $$f(n)=\frac{a_n}{a_{n+1}}\notin\mathbb{Q} \Leftrightarrow f(n+1)=\frac{a_{n+1}}{a_n+a_{n+1}}\notin\mathbb{Q}.$$ Supongamos que $f(0)= \frac{a_0}{a_{1}}$ está dada por un número irracional. Si $a_{n+2}=0$ para algunos $n\ge 0$ entonces $f(n)=-1$ se mantiene y esto contradice $f(0)$ es irracional. Del mismo modo, si $a_n=0$ para algunos $n<0$ entonces $f(n)=0$ se mantiene y esto contradice $f(0)$ es irracional. Así, los datos iniciales irracionales $f(0)$ garantiza que $f(n)$ está bien definida para todos los $n\in\mathbb{Z}$ .

Dejemos que $a_0 = 1$ y $a_1=\pi$ . Si lo resolvemos para $A,B$ obtenemos $$ A=\frac{\beta-\pi}{\beta-\alpha},\quad B=\frac{\pi-\alpha}{\beta-\alpha}. $$ Si dejamos que $f(x) = \frac{1}{\pi}$ para $x\in [0,1)$ Esto implica $$ f(x+n) = \frac{(\beta-\pi)\alpha^n + (\pi-\alpha)\beta^n}{(\beta-\pi)\alpha^{n+1} + (\pi-\alpha)\beta^{n+1}}. $$ está bien definida para $n\in\mathbb{Z}$ y satisface la ecuación funcional dada. Esto demuestra que $$ f(x)=\frac{(\beta-\pi)\alpha^{\lfloor x\rfloor} + (\pi-\alpha)\beta^{\lfloor x\rfloor}}{(\beta-\pi)\alpha^{{\lfloor x\rfloor}+1} + (\pi-\alpha)\beta^{{\lfloor x\rfloor}+1}} $$ es un ejemplo de solución discontinua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .