Encontrar la suma de la serie

Question

Se nos da la serie $\sum_{n=1}^\infty {\frac {f(n)} {n(n+1)}}$ donde $f(n)$ es una función que es igual a la suma de 1 en la representación binaria de n.

Estoy obligado a encontrar la suma de la serie. En primer lugar, he decidido explícitamente probar la convergencia de la serie. Uso para que la convergencia armónica de la serie,

$\sum {\frac 1 {n^2}}$.
$\lim_{n \to \infty} \frac {f(n)* n^2} {n \cdot (n+1)} = \lim_{n \to \infty} f(n)$

Donde $f(n)$ podría ser representado como $\sum_{i=0}^{\log_2 n} m_i$, si definimos n $\sum_{i=0}^{\log_2 n} m_i \cdot 2^i$ $m_i$ es capaz de tomar los valores de 0 o 1.

Puedo intuitiva que $f(n)$ no aporta $\infty$, cuando se $n \to \infty$. Una gráfica de la función se comportan como onda, creciente y, a continuación, volver a 1. Escribí un script para obtener algún sentido de los datos, que se obtienen:

Para p= 10 series= 1.0873015873015872
Para p= 100 series= 1.3398423025935298
Para p= 1000 series= 1.3801052489558094
Para p= 100000 serie= 1.3861981879674006

Este resultado se ve para mí como $ln(4)$, pero no ayuda mucho, ya que la solución se supone debe ser puramente analítico. ¿Cómo puedo encontrar una suma?

Answer 1

Deje $S$ ser la suma (que existe como ya se señaló en los comentarios). El uso que $f(2n)=f(n)$$f(2n+1)=f(n)+1$. Luego de dividir la suma de $n$ a y $n$ impar y agrupando términos de resultados en la recursividad $S= \log(2)+\tfrac{1}{2}S$$S = 2\log(2)=\log(4)$.

$$ \begin{eqnarray} S&=&\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n(n+1)}\\ &=&\sum_{n=0}^\infty \frac{1+f(n)}{(2n+1)(2n+2)} + \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{2n(2n+1)}\\ &=&\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\right)+\sum_{n=1}^\infty f(n)\left(\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}+\frac{1}{2n(2n+1)}\right)\\ &=&\log(2) +\sum_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{2n(n+1)}\\ &=&\log(2)+\tfrac{1}{2}S \end{eqnarray} $$