Me preguntaba cómo derivar las 3 fuerzas "ficticias" típicas que surgen en un marco de rotación. Su derivación en la mecánica clásica es clara para mí, pero no en la mecánica cuántica.
Partícula puntual clásica: tenemos un marco inercial centrado en $O$ y uno rotativo en $O'$ de manera que los ejes se orienten mutuamente como $\hat{{\bf e}}_i = R \, \hat{{\bf e}}'_i$ , donde $R$ es una matriz de rotación y $i=1,2,3$ . Dado un punto $\bf x$ según lo visto por $O$ tenemos ${\bf{x}} = {\bf{r}}+R \, {\bf{x}}'$ , donde $\bf r$ es la posición de $O'$ medido por $O$ . Ahora, podemos introducir la "matriz de velocidad angular" $W=R^{-1}\dot{R}$ , a saber $\dot{R} = R \,W$ y $\ddot{R} = R(W^2+\dot{W})$ . De este modo, para un vector dado $\bf u$ tenemos que $W{\bf u} ={\bf w} \times {\bf u} $ , donde ${\bf w}$ es el habitual "vector de velocidad angular" asociado al hecho de que $R$ puede tener una dependencia temporal ( $W$ y $\bf{w}$ están relacionados por la dualidad de Hodge).
Ahora, sólo tenemos que tomar las derivadas temporales ( $\bf{r}$ es constante): $$ \dot{{\bf x}} = R (\dot{\bf x}' + W{\bf x}') $$ $$ \ddot{{\bf x}} = R (\ddot{\bf x}' + 2 W\dot{\bf x}'+W^2{\bf x}'+\dot{W}{\bf x}') $$ donde el último término $\dot{W}{\bf x}'$ es el llamado "Fuerza de Euler" (es menos famoso que el de Coriolis y el centrífugo porque se necesita una velocidad angular no constante del marco giratorio). Ajuste $R=1$ en un momento dado, las ecuaciones anteriores dicen $$ \dot{{\bf x}} = \dot{\bf x}' + {\bf w} \times {\bf x}' $$ $$ \ddot{{\bf x}} = \ddot{\bf x}' + 2 {\bf w} \times \dot{\bf x}'+ {\bf w} \times ( {\bf w} \times {\bf x}')+\dot{ {\bf w} }\times{\bf x}' $$ Pregunta: ¿Cómo funciona esto en la mecánica cuántica (suponiendo, para simplificar, un espín $0$ función de onda)?
Supongo que el 3 fuerzas aparentes deberían manifestarse de alguna manera en la ecuación de Schrodinger (no bajo la forma directa de "fuerzas", por supuesto). También supongo que deberíamos encontrar algo que se parezca a las dos últimas ecuaciones cuando el Teorema de Ehrenfest se aplica, o cuando se trabaja en el Imagen de Heisenberg (en particular, estoy pensando en la derivada temporal del operador de momento: en este caso debería aparecer algún operador de "fuerza ficticia").
Editar: Puede que me equivoque, pero tengo la sensación de que la respuesta de Qmechanic a continuación no es toda la historia. El cambio de marco (a uno inercial o a uno no inercial) debe preservar la probabilidad, por lo que debe implementarse mediante una transformación unitaria $U_t$ que es básicamente una rotación parametrizada por el tiempo. Si el eje de rotación no es constante, tengo la sensación de que $U_t$ puede expresarse en términos de Exponencial ordenado en T , de lo contrario, un simple
$$ U_t = e^{\frac{-i}{\hbar} L_z \int_0^t \Omega(t') dt'} $$
podría hacer el trabajo (asumiendo que el marco no inercial está rotando a lo largo del $z$ -eje). Ahora podemos partir de la ecuación de Schrodinger en el marco inercial,
$$ i \hbar \partial_t \psi( {\bf x} ,t) = H \psi( {\bf x} ,t) $$
y obtener
$$ i \hbar (\partial_t \psi' + \psi' U_t \partial_t U_t^*)= H' \psi' $$
donde $ \psi ' = U_t \psi $ y $H' = U_t H U_t^* $ . Por lo tanto, hay un término adicional relacionado con $ \partial_t U_t $ , que normalmente no tenemos cuando realizamos una rotación independiente del tiempo (algún signo puede ser erróneo, esto es sólo para dar la idea). El efecto Euler está probablemente codificado (también) en el nuevo término $U_t \partial_t U_t^*$ . Por favor, corríjanme si mi línea de razonamiento es demasiado complicada y no hay necesidad real de co.n sPildeears ea ncyo rurneictta rmye tirfa nmsyf olrimnaet ioofn .El razonamiento es demasiado complicado y no hay necesidad real de considerar ninguna transformación unitaria.
