Encuentra el valor de la suma (n/2^n)

Question

Tengo la serie $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}$ . Debo demostrar que converge a 2.

Me dieron una pista para tomar el derivado de $\sum_{n=0}^\infty x^n$ y multiplicar por $x$ , lo que da

$\sum_{n=1}^\infty nx^n$ o $\sum_{n=0}^\infty nx^n$ .

Claramente si tomo $x=\frac{1}{2}$ la serie es $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{2^n}$ . ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $|x|<1$ entonces la serie original converge con

$$ \sum_{n=0}^\infty x^n \;\; =\;\; \frac{1}{1-x}. $$

Calcular la derivada y enchufar $x=\frac{1}{2}$ debería parecer más fácil ahora.