No hay isomorfismo de anillos entre ciertos anillos

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado y sea $c,d$ sean elementos distintos de $k$ .

Por qué no hay isomorfismo de anillo entre $k[x,\frac{1}{x}]$ y $k[x,(x-c)^{-1},(x-d)^{-1}]$ ?

Supongo que un enfoque es mirar las unidades, sin embargo (sólo por curiosidad) me gustaría ver si hay otras maneras de responder a esto (es decir, utilizando herramientas de álgebra conmutativa o cualquier tipo)

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $ k[x,(x-c)^{-1}, (x-d)^{-1}] =k[x-c, (x-c)^{-1}, (x-d)^{-1}]$ por lo que podemos reducirnos a mostrar que $A=k[x, x^{-1}]$ no es isomorfo a $B=k[x, x^{-1},(x-d)^{-1}] $ si $d\neq 0$ .

Traduciendo a la geometría, esto equivale a mostrar que $X=Spec(A)=\mathbb P^1_k \setminus \lbrace P,Q \rbrace $ no es isomorfo a $Y=Spec(B)=\mathbb P^1_k \setminus \lbrace P,Q,R \rbrace $ .
Pero si hubiera tal isomorfismo $f:X\to Y$ se extendería a un morfismo $\hat f: \mathbb P^1_k \to \mathbb P^1_k$ porque $X$ es no singular: Hartshorne, Capítulo I, Proposición 6.8.
Esto es absurdo porque cualquier morfismo no constante $\mathbb P^1_k \to \mathbb P^1_k$ debe ser suryente y $\hat f$ no puede ser sobreyectiva: los dos puntos $\hat f(P)$ y $\hat f(Q)$ no puede llenar los tres agujeros $P,Q,R$ que $Y$ tiene con respecto a $\mathbb P^1_k$ ¡!

El pequeño argumento anterior es en realidad una prueba rigurosa del hecho visualmente obvio de que $\mathbb P^1_k$ menos dos puntos no es isomorfo a $\mathbb P^1_k$ ¡menos tres puntos!]

Answer 2

Si $k$ es un dominio integral, entonces $k[x,x^{-1}]^*/k^*$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ generado por $x$ y $k[x,(x-c)^{-1},(x-d)^{-1}]^* / k^*$ es isomorfo a $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ generado por $x-c$ y $x-d$ . Estos grupos no son isomorfos.