¿Son equivalentes la topología de orden sobre los números naturales y la topología discreta?

Question

Actualmente estoy tratando de entender mejor la topología y he leído que la topología de orden en $\mathbb Z$ es equivalente a la topología discreta, ya que todo subconjunto de $\mathbb Z$ está abierto.

¿Pero no es lo mismo para $\mathbb N$ ? Tenemos la misma cardinalidad y si tomamos el conjunto de potencias de $\mathbb N$ también está abierto el subconjunto de elementos. Y si no lo es, ¿por qué no?

También me encontré con el siguiente ejemplo:

$$\mathcal T_{\mathbb Z} := \{M\in \mathcal P(\mathbb Z): M = \emptyset \quad\text{or}\quad M = \mathbb Z\quad\text{or}\quad (-13 \in M \,\wedge 13 \notin M)\}$$

¿No se corresponde esta topología con la topología discreta también? No estoy muy seguro.

Answer 1

Tienes razón en que la topología de orden en $\mathbb N$ es discreto. (Al principio, quería decir que esto se deduce de $\mathbb N\subset \mathbb Z$ (pero entonces recordé que la topología del subespacio y la topología del orden no siempre coinciden) Un espacio es discreto si y sólo si cada punto es abierto. Si $\mathcal O$ es un conjunto totalmente ordenado, ¿qué significa para $x\in \mathcal O$ para ser abierto en la topología de la orden? Sólo significa que el conjunto $\{x\}$ puede expresarse como un intervalo abierto (posiblemente unilateral). Por lo tanto, tenemos que escribir $\{x\}=(a,b)$ donde $a\in \mathcal O\cup\{-\infty\}$ y $b\in \mathcal O\cup\{\infty\}$ . Esto significa que:

1. O bien $x$ tiene un predecesor directo $a$ o $x$ es mínimo en $\mathcal O$ .

2. O bien $x$ tiene un sucesor directo $b$ o $x$ es máxima en $\mathcal O$ .