Bracket discreto y convergencia de una martingala

Question

Supongamos que tenemos una martingala discreta $(M_n)_{n\in\mathbb{N}}$ con respecto a una filtración $(\mathcal{F}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ . Sólo toma valores reales. Definimos el soporte discreto $\langle M\rangle_n=\sum\limits_{i=1}^{n-1} \mathbb{E}(M_{k+1}^2-M_k^2|\mathcal{F}_k)$ .

Por supuesto, si $\langle M\rangle_n$ está acotado en $L^2$ entonces $M_n$ converge en $L^2$ . Sin embargo, si sólo suponemos que $\langle M\rangle_n$ converge casi con seguridad hacia una variable aleatoria finita, ¿es cierto que $M_n$ converge casi con seguridad?

Si es cierto en el caso discreto, ¿es cierto en el caso continuo?

Answer 1

Sí, esto es cierto tanto en el entorno discreto como en el continuo, suponiendo que $M$ es continua. Sea $\tau_m := \inf \{t : \langle M \rangle_t > m\}$ y $\lim_{t \rightarrow \infty} \langle M \rangle_t = \langle M \rangle_\infty$ . Entonces $\langle M \rangle^{\tau_m}$ está acotado y, en particular, en $L^2$ así que $\lim_{t \rightarrow \infty}M_t^{\tau_m}$ existe casi con toda seguridad. Pero como para casi todos los $\omega$ tenemos $\langle M \rangle_\infty(\omega) < \infty$ Sabemos que $\tau_m(\omega) =\infty$ para todos $m$ suficientemente grande, por lo que $\lim_{t \rightarrow \infty} M_t$ también existe.