Estoy estudiando el libro de teoría de la medida de Axler y allí se dice que un conjunto es medible si pertenece a una $\sigma$-álgebra. Un conjunto de potencia es siempre una $\sigma$-álgebra, y al combinar estos, parecería que cada conjunto en $\mathcal{P}(\mathbb R)$ es medible, lo cual no es cierto. ¿Qué es lo que no entiendo, por qué estas definiciones no se contradicen entre sí?
Ok, ¿puedes entonces siempre definir una medida, posiblemente una muy trivial, tal que cada subconjunto del conjunto potencia del conjunto subyacente sea medible?
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Un conjunto se dice medible (con respecto a una $\sigma$-álgebra) si pertenece a esa $\sigma$-álgebra. Cada subconjunto de $\Bbb R$ es medible con respecto a $\mathcal{P}(\mathbb R)$, pero no con respecto a otras $\sigma$-álgebras. Hay subconjuntos de $\Bbb R$ que NO son medibles con respecto a la $\sigma$-álgebra de Lebesgue. La definición de conjunto medible siempre es con respecto a una $\sigma$-álgebra.
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No necesitas definir un espacio de medida para definir conjuntos medibles. Es suficiente tener un espacio medible, es decir, $(X, \Sigma)$ donde $X$ es el espacio subyacente y $\Sigma$ es una $\sigma$-álgebra de subconjuntos de $X$. Los conjuntos medibles se definen con respecto a una $\sigma$-álgebra. Algunas $\sigma$-álgebras se crean mediante la construcción de Carathédory a partir de premedidas, pero los conjuntos medibles son siempre aquellos conjuntos que están en la $\sigma$-álgebra.