¿Cada conjunto en una sigma-álgebra no es medible?

Question

Estoy estudiando el libro de teoría de la medida de Axler y allí se dice que un conjunto es medible si pertenece a una $\sigma$-álgebra. Un conjunto de potencia es siempre una $\sigma$-álgebra, y al combinar estos, parecería que cada conjunto en $\mathcal{P}(\mathbb R)$ es medible, lo cual no es cierto. ¿Qué es lo que no entiendo, por qué estas definiciones no se contradicen entre sí?

Answer 1

Un espacio de medida debe especificar tres cosas:

• Un conjunto subyacente;
• Un $\sigma$-álgebra de subconjuntos que son medibles en este espacio de medida;
• Una medida (una función en esta $\sigma$-álgebra).

Cuando decimos "un subconjunto medible de los números reales" típicamente nos referimos a "un subconjunto de los números reales medible con respecto a la medida de Lebesgue", que es una forma de hacer estas elecciones. En lugar de decir "subconjunto medible", podríamos haber dicho "subconjunto medible según Lebesgue" para evitar confusiones.

En cambio, podrías definir una medida diferente en los números reales. Podrías elegir usar la $\sigma$-álgebra $\mathcal P(\mathbb R)$, y por ejemplo decidir que la medida de un conjunto es igual al número de enteros que contiene. Cuando trabajas con esta medida, cada subconjunto de los números reales es medible, pero ahora no estás hablando de lo mismo que los demás.

Answer 2

La familia de conjuntos medibles forma un $\sigma$-álgebra, pero no todos los conjuntos pertenecientes a cualquier $\sigma$-álgebra son medibles. Por lo tanto, para definir completamente un espacio de medida, necesitamos un conjunto $X$, un $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ en $X$ y una función $\mu: \mathcal{A} \to [0, \infty]$ que cumpla algunas propiedades. Un conjunto $A \subseteq X$ se llama medible bajo $\mu$ (o simplemente medible si esto no causa confusión) si pertenece a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$. No se puede definir un espacio de medida sin indicar claramente qué es cada una de estas tres cosas.