Demostrando que $k | 12$ dado $k$ es el orden de $2$ mod $13$ .

Question

Estoy tratando de mostrar que $k | 12$ dado $k$ es el orden de $2$ mod $13$ . ¿Es suficiente si utilizo el teorema de Euler así? Por el teorema de Euler, ya que (2,13) = 1, tenemos que $2^{\phi(13)} \equiv 1$ (mod 13) lo que implica que $2^{12} \equiv 1$ (mod 13). Así que ciertamente, $k$ divide 12. ¿Es eso cierto?

Además, estoy tratando de mostrar que $2^{i} \equiv 2^{j}$ (mod 13) $\Leftrightarrow i \equiv j$ (mod 12) sin embargo no estoy seguro de cómo empezar. Por ejemplo, intuitivamente quiero usar las reglas del logaritmo pero esto probablemente no es válido en el contexto de la aritmética modular. Quiero utilizar el teorema de Euler ya que $\phi(13 = 12$ Sin embargo, no estoy seguro de cómo conectar las dos implicaciones.

Answer 1

Primera pregunta: Si ya en su clase o libro, se ha demostrado que el orden de cualquier $a$ (relativamente primo a $m$ ) divide $\varphi(m)$ entonces se puede decir, quizás refiriéndose a este resultado, que ciertamente el orden de $2$ divide $12$ .

Si aún no se tiene tal teorema, entonces se puede encontrar el orden de $2$ modulo $13$ calculando directamente $2^1, 2^2, \dots$ modulo $13$ hasta que te topas con $1$ . Resultará que el orden de $2$ es exactamente $12$ . Necesitará ese dato para la segunda pregunta.

Segunda pregunta: Supongamos que $i$ y $j$ son enteros no negativos, y que $i\le j$ . Entonces $2^i\equiv 2^j\pmod{13}$ si y sólo si $2^{j-i}\equiv 1\pmod{13}$ .
Si quieres demostrarlo, utiliza el hecho de que si $a$ y $m$ son relativamente primos, entonces $ax\equiv ay\pmod{m}$ si y sólo si $x\equiv y\pmod{m}$ . Desde $2$ tiene exactamente el orden $12$ tenemos $2^{j-i}\equiv 1\pmod{13}$ si y sólo si $12$ divide $j-i$ . Un argumento esencialmente idéntico se ocupa del caso $i\gt j$ .

Si quieres tratar también con enteros posiblemente negativos $i$ y/o $j$ Tendrá que definir lo que quiere decir con $2^{-k}$ para que sea positivo $k$ . Esto se puede hacer, pero no es lo habitual $2^{-k}$ es la inversa multiplicativa de $2^k$ modulo $13$ .