¿Por qué es $T(t+s)=T(t)T(s)$ ¿se llama propiedad de semigrupo?

Question

Dejemos que $\{T(t):t>0\}$ sea una familia de operadores. Decimos que es semigrupo si $$ T(t+s)=T(t)T(s) \text{ for all }t,s >0$$ Por otro lado cualquier conjunto con una operación binaria asociativa se llama semigrupo. No soy capaz de entender por qué $T(t+s)=T(t)T(s)$ se llama propiedad de semigrupo.

Answer 1

Supongo que es porque el mapa $T:\mathbb R_+\to B(H)$ es un homomorfismo de semigrupo (mapea de un semigrupo a otro, preservando la operación de semigrupo). De la misma manera que una representación $U:\mathbb R\to B(H)$ es un homomorfismo de grupo.

Answer 2

Como has dicho, cualquier conjunto con una operación binaria asociativa es un semigrupo. En particular, cualquier subconjunto $S$ de $\mathcal{L}(X)$ cerrado bajo composición de operadores es un semigrupo (donde la operación es la composición).

Entre estos subconjuntos, "los más interesantes" (palabras de E. Hille en [1]) son las que están indexadas por un semigrupo $(A,\circ)$ , digamos que $S=\{T(a)\mid a\in A\}$ y satisface $$T(a\circ b)=T(a)T(b).$$ Esta igualdad da una relación entre el funcionamiento del semigrupo de operadores $S$ y el funcionamiento del semigrupo índice $A$ . Por eso se llama "propiedad de semigrupo". (El caso más común es $A=\mathbb R_{+}$ ).

Así, a grandes rasgos, un semigrupo (en el sentido de operador, también llamado semigrupo de un parámetro) es un subsemigrupo (en el sentido abstracto) de $\mathcal{L}(X)$ indexado por otro semigrupo con la propiedad de que la operación de semigrupo se conserva. El sentido de "la operación se conserva" viene dado por la igualdad que se denomina "propiedad del semigrupo".

1] E. Hille. ¿Qué es un semigrupo? en Estudios de análisis real y complejo editado por I. I. Hirschman, Jr. (1965).