Proceso de Ornstein-Uhlenbeck: ¿Markoviano, pero no martingala?

Question

Estoy confundido acerca de las propiedades del proceso Ornstein-Uhlenbeck, dado por la integral de Ito $$ X_t = x e^{-\lambda t} + \sigma \int_0^t e^{-\lambda(t-s)} d W_s \,. $$

1. Calculo que $\{X_t\}$ no es un proceso de martingala: $$ E[X_{t'} | \mathcal{F}_t] = X_t e^{-\lambda {t'}} \neq X_t , \qquad 0 \leq t < t'. $$ dividiendo la integral en $s=t$; $\mathcal{F}_t$ es el historial del proceso de Wiener $\{W_t\}$ hasta el tiempo t.

2. Por otro lado, el proceso es una difusión de Ito homogénea en el tiempo ya que tiene la forma $d X_t = -\lambda X_t\,d t + \sigma \, dW_t$. Y como tal, cumple la propiedad de Markov.

Yo esperaba que cualquier proceso de Markov también fuera una martingala, pero no al revés. Esto también se expresa en Martingale that is not a Markov process

Entonces, ¿dónde estoy equivocado? ¿Tal vez el proceso OU es en realidad una martingala y mi error está en el cálculo de la expectativa condicional?

Answer 1

Estás en lo cierto; el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es un proceso de Markov pero no un martingala. Simplemente no es correcto que cualquier proceso de Markov sea un martingala (y viceversa).

Un contraejemplo más fácil es el siguiente: Sea $(B_t)_{t \geq 0}$ un movimiento Browniano y $$X_t := B_t +a \cdot t, \qquad t \geq 0$$ para algún $a \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$. Entonces $(X_t)_{t \geq 0}$ no es un martingala ya que, como $(B_t)_{t \geq 0}$ es un martingala,

$$\mathbb{E}(X_t \mid \mathcal{F}_s) = B_s +a \cdot t \neq X_s.$$

Por otro lado,

$$\begin{align*} \mathbb{E}(f(X_t) \mid \mathcal{F}_s) &= \mathbb{E}(f(B_t-B_s+B_s+at) \mid \mathcal{F}_s) \\ &= \mathbb{E}(f(B_{t-s}+y+at)) \big|_{y=B_s} \\ &= \mathbb{E}(f(B_{t-s}+y+a(t-s)))) \big|_{y=X_s}, \end{align*}$$

y esto muestra que $(X_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Markov.