espacio clasificatorio induce una equivalencia de categorías entre PBun $_G(M)$ y $\Pi(M,BG)$ para grupos finitos $G$

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $BG$ su espacio clasificatorio y M una colector. Entonces se menciona en https://arxiv.org/abs/1705.05171 (Observación 2.3 d) que existe una equivalencia de categorías $$ \Pi (M,BG) \cong PBun_G(M) $$ entre el grupo de mapas de $M$ a $BG$ (con las clases de homotopía de las homotopías como morfismos) y el grupo de principales $G$ -bundles over $M$ . ¿Cómo se puede demostrar eso? ¿En qué lugar de la literatura puedo encontrar una prueba de ello?

Sin embargo, sólo he podido encontrar pruebas de que las clases de homotopía de los mapas corresponden a clases de isomorfismo de los haces principales. Pero para demostrar que da una equivalencia de categorías necesito también que los morfismos se correspondan entre sí.

El hecho de que se correspondan entre sí también se menciona en https://www.uni-due.de/~hm0002/stacks.pdf (Al principio del capítulo 1), pero no se da ninguna prueba.

Gracias de antemano por su ayuda

Answer 1

Para tener una equivalencia de groupoides necesitamos una equivalencia en componentes y en grupos de automorfismo de cada componente. La equivalencia en componentes es la historia clásica. La referencia que más me gusta para esto son las notas de Stephen Mitchell https://www3.nd.edu/~mbehren1/18.906/prin.pdf

Obtener la equivalencia en grupos de automorfismo no es difícil. Supongamos que $H: X \times I \rightarrow BG$ es una homotopía del mapa $f: X \rightarrow BG$ a sí mismo. Entonces esto puede escribirse como $H: X \times S^1 \rightarrow BG$ con la restricción de $X \times \{*\}$ igual a $f$ .

Podemos retirar el haz universal para obtener un haz vectorial sobre $X \times S^1$ . Como nuestro grupo es discreto, al ir en sentido contrario a las agujas del reloj tenemos un único camino asociado a $x \in X$ a partir de $(x,\{*\})$ y volviendo a $(x',\{*\})$ para algunos $x' \in X$ . Piensa en lo que ocurre en el límite de la franja de Mobius.

Esta tarea $x \rightarrow x'$ entonces da un automorfismo del haz de arrastre a lo largo de $f$ . Por lo tanto, tenemos un mapa desde las autohomogeneidades de un mapa hasta el grupo de automorfismo del haz de arrastre. Para ver que se trata de un isomorfismo, construimos el mapa inverso.

Dado un automorfismo del haz principal $P \rightarrow X$ y se hace un pullback a lo largo de la proyección para obtener un haz principal sobre $X \times I$ . Ahora podemos pegar a lo largo del automorfismo para obtener un haz principal sobre $X \times S^1$ . Esto se clasifica mediante un mapa $X \times S^1 \rightarrow BG$ que da lugar a una auto homotopía del mapa que clasifica $P \rightarrow X$ . No es difícil comprobar que son inversos.

En particular, el primer mapa requiere discreción y el segundo no.