¿Cuál es la idea de una acción de un grupo?

Question

Sé que la definición formal de una acción a través de un conjunto. No le estoy pidiendo esto.

Lo que yo estoy preguntando es: ¿qué es la intuición? Es una forma de definir un álgebra a través de un conjunto? Dado que una acción puede existir en la mayoría de los arbitraria de conjuntos, esto no significa que cada sistema puede ser asumido como una estructura algebraica? No es posible para un conjunto para ser "unactionable", debido a su estructura? Por ejemplo, si tengo un grupo G con los elementos {a,b,c,...} y un conjunto de M, y dejamos G actuar en M, ¿cómo puede haber un elemento $a\cdot x$ en M si $a$ $x$ son de diferente naturaleza (como $a$ ser una matriz y $x$ un número real)? Tengo que encontrar un grupo de $G'$ que es isomorfo a $G$ de tal manera que esta acción tiene sentido sobre M? Lo que si este isomorfismo es inalcanzable?

Answer 1

Yo diría que originalmente la acción de un grupo sobre un conjunto es lo que motiva a muchos grupos. Así, el grupo simétrico $S_n$ es en el hecho de que se define por su acción en el set $\{1,\ldots ,n\}$. O el grupo de simetría de un objeto (un dodecaedro regular, digamos) es inherentemente dada por la forma en cómo este (resumen) el grupo actúa en el (más concreto) objeto. A menudo uno se mete ideas fuera de este, por ejemplo, el grupo de simetría $G$ de el cubo opera en el 6-elemento del conjunto de caras, el 8 de elementos conjunto de vértices, el 12 de elementos conjunto de aristas, el 4-elemento del conjunto de corte de las diagonales, la 3-elemento de conjunto de ejes y el 2-elemento del conjunto de inscritos tetraedros, cada uno dando lugar a hechos interesantes acerca de las $G$.

Dado arbitraria $G$$M$, que, por supuesto, siempre tienen el trivial de acción por lo menos. Sin saber más acerca de $G$$M$, es difícil decir si hay alguna más. Por ejemplo, si $G$ es cíclico de primer orden $p$ $M$ tiene menos de $p$ elementos, no es, de hecho, sólo el trivial de acción. Si no es interesante relación entre el $G$ $M$ que puede ser explotado, un trivial de acción podría ser definido de una manera muy "aburrido" (por ejemplo, con un explícito tabla de multiplicación), pero que no le dará una gran cantidad de información en el grupo y establecer en cuestión.

Answer 2

Supongamos que tenemos un conjunto de cosas interesantes; por ejemplo, podríamos tener el set $C$ de caras de un cubo, o el conjunto de $\mathbb{R}^3$ de los puntos en Euclidiana 3-espacio.

Para cualquier conjunto a $S$, hay un grupo que se denota $\mathsf{Aut}(S)$ que consta de todos los bijective funciones de $f:S\to S$, donde la operación es $\circ$ (composición), y la identidad es la identidad de la función $\mathrm{id}_S(s)=s$.

Sin embargo, no suele ser el caso que nos preocupamos por cada posible forma de reorganización (es decir, permuting) los elementos de nuestro conjunto; por ejemplo, la permutación de $C$ intercambio de dos lados adyacentes y no hacer nada más no es realmente tan natural de una cosa a considerar como la permutación de $C$ que una rotación del cubo induce. Y hay un montón de formas de locura permuting $\mathbb{R}^3$ que incluso no pueden ser escritas; pero estamos interesados principalmente en la asignación de $\mathbb{R}^3$ a sí mismo en geométricamente de manera interesante, como la reflexión o rotación.

Por lo tanto, decidimos restringir nuestra atención a un determinado subgrupo $G$$\mathsf{Aut}(S)$.

Que es (en esencia) de un grupo de acción: tenemos un grupo de $G$, cada uno de cuyos elementos se determina una permutación de $S$.

En el caso de $\mathbb{R}^3$, podríamos decidir de antemano que la única permutaciones que nos interesan están bijective transformaciones lineales de $\mathbb{R}^3$ a sí mismo, ya que después de todo $\mathbb{R}^3$ tiene este agradable espacio vectorial estructura, y debemos preservarlo. Entonces estamos haciendo teoría de la representación; tenemos un grupo de $G$, cada uno de cuyos elementos se le asigna un isomorfismo lineal de $\mathbb{R}^3$ a sí mismo, que (pensado como una matriz) es un elemento de $\mathsf{GL}_3(\mathbb{R})$.

Ahora, a veces comenzamos con el grupo de $G$ ya en mente. Tal vez ocurrió en un problema que estamos haciendo, y nos dimos cuenta de que no es la forma natural en que sus elementos pueden dar lugar a las permutaciones de un conjunto (o lineal isomorphisms de algunas espacio vectorial). Entonces, lo que tenemos no es un subgrupo $G\subset \mathsf{Aut}(S)$ o $G\subset\mathsf{GL}_n(\mathbb{R})$, pero en lugar de eso, un homomorphism $\rho:G\to\mathsf{Aut}(S)$ o $\rho:G\to\mathsf{GL}_n(\mathbb{R})$.

Tenga en cuenta que no es un fenómeno que puede ocurrir en este caso más general, que no se producen en la forma en que inicialmente se describen las cosas, que merece ser mencionado: varios de los elementos del grupo pueden corresponder a la misma permutación (lineal o isomorfismo). En otras palabras, la homomorphism $\rho:G\to\mathsf{Aut}(S)$ podría tener un no-trivial kernel.