Estoy leyendo el libro A First Course in Abstract Algebra escrito por Fraleigh y no entiendo muy bien la demostración del teorema 31.22, que todo campo $F$ tiene un cierre algebraico $\bar F$ .
Me he dado cuenta de que mucha gente ha hecho esta pregunta antes, pero sigo sin entenderla. Básicamente, uno necesita construir un conjunto $S$ que contiene todos los campos de extensión algebraica de $F$ y usamos el Lemma de Zorn para asegurar el elemento máximo $\bar F$ . Sin embargo, tenemos que asegurar el conjunto $S$ es un conjunto "legal" que no caerá en la trampa de la paradoja de Russell, como se muestra a continuación (por Fraleigh):
Estoy confundido con la construcción de $\Omega$ . Supongo que $A$ es el conjunto de todos los ceros de $F[x]$ y $\Omega=P(A)$ que tiene $\it{cardinallity}$ estrictamente mayor que $A$ . Ya que cada $\alpha\in F$ es un cero del polinomio $f_\alpha=x-\alpha$ , uno tiene $\omega _{f_\alpha1}=\alpha$ . Cambié el nombre $\{\omega _{f_\alpha1}\}\in P(A)=\Omega$ como el elemento $\alpha$ así que $F\subset \Omega$ tendría sentido.
A continuación, elija cualquier $\gamma \in E$ y renombrar cada elemento en $F(\gamma)$ con diferentes $\omega\in \Omega\backslash F$ . Así es como entiendo la prueba de Fraleigh.
Mi pregunta es: Después de asignar nombres a cada elemento en $F(\gamma)$ por $F(\omega)$ entonces los "elementos restantes" en $\Omega$ tendría el tamaño $\Omega\backslash (F\cup F(\omega))$ . ¿Cómo se puede garantizar que sigue siendo lo suficientemente grande como para renombrar los otros campos de extensión?
También, en la prueba, $\gamma$ se obtiene de $E$ . Lo que sabemos es que todos los elementos en $F(\gamma)$ es renombrado y contenido en $\Omega$ . Pero esto no significa que $E\subset \Omega$ .
Y en tercer lugar, supongo que la construcción se sigue en estos procedimientos: Encontrar $\gamma_1$ y hacer $F(\gamma_1)$ en $\Omega$ . Encuentre otro $\gamma_2$ y hacer $F(\gamma_2)$ en $\Omega$ y así sucesivamente. Este es un procedimiento paso a paso y sólo puedo hacer $countably$ muchos $F(\gamma_i)$ en $\Omega$ . ¿Cómo puedo saber $\Omega$ es lo suficientemente grande como para contener tal vez incontables campos de extensión?
