¿Qué significa cuando se dice que una solución de una ecuación diferencial sólo existe en un intervalo?

Question

Resolví un DE y obtuve $$y=\frac{1}{1-x}$$ el libro afirma que esta solución sólo existe en $\mathbb{R}-\{1\}$ Supongo que porque de lo contrario es indefinido pero ¿qué quiere decir con solución porque digamos que si escogemos un valor donde está definido sólo terminaremos con un número cómo es exactamente esto una respuesta?

Además, ¿podría alguien explicar qué significa solución única? ¿Significa que sólo hay una solución para la ED?

¿Hay algún caso sencillo en el que haya muchas soluciones para una ED? No se me ocurre ninguna.

Gracias.

Answer 1

El problema de valor inicial

$$y' = \sqrt{y}, \,\,\, y(0) = 0,$$

tiene múltiples soluciones.

Por ejemplo $y(x) = 0$ y $y(x) = x^2/4$ .

En general, el problema de valor inicial

$$y' = f(x,y), \,\,\, y(x_0) = y_0,$$

se garantiza que tiene una solución única en algún intervalo abierto que contenga $x_0$ cuando la función $f$ cumple ciertas condiciones. Busque el teorema de Picard-Lindelof. La noción de unicidad sólo es relevante en el contexto de una condición inicial que la acompañe. La ecuación diferencial puede tener muchas soluciones, en general. Sin embargo, decimos que la solución es única para un problema de valor inicial cuando dadas dos funciones cualesquiera $y_1$ y $y_2$ que satisfacen tanto la ecuación diferencial como la condidición inicial, entonces $y_1(x) = y_2(x)$ para todos $x$ donde existen soluciones.

El intervalo en el que existe la solución no tiene por qué ser extensible a $\mathbb{R}$ como en su ejemplo donde $f(x,y) = y^2$ .

Answer 2

Bien, la función y= 1/(1- x) está definida para todas las x excepto x= 1. Pero realmente no entiendo qué quieres decir con que "si elegimos un valor donde esté definida acabaremos teniendo un número". Eso, por supuesto, es cierto para CUALQUIER función. Pero una función diferenciable puede ser considerada como algo más que una colección de números - también está la forma en que los diferentes números están "conectados". En este caso, su función es $y= (1- x)^{-1}$ . Su derivado es $-(1- x)^{-2}= -\frac{1}{(1- x)^2}= -y$ por lo que satisface la ecuación diferencial $y'= -y^2$ . ¿Era esa la ecuación que resolviste? También preguntas por las soluciones "únicas". Seguramente sabes que resolver una ecuación diferencial equivale a integrando y la integración conduce a una "constante de integración" arbitraria. Por ejemplo, la ecuación diferencial muy simple y'= x tiene la "solución general" y= (1/2)x^2+ C. Lo que es cierto es que si f(x,y) es continua en x y "Lipschitz" en y ("diferenciable" con respecto a y es suficiente pero no necesario) en alguna vecindad de $(x_0, y_0)$ entonces existe una vecindad de $(x_0, y_0)$ en la que existe una única (exactamente una) función, y, que satisface la ecuación diferencial [b]y[/b] $y(x_0)= y_0$ .

Un ejemplo de problema de ecuaciones diferenciales donde la solución NO es única es $y'= y^{1/2}$ con la condición inicial y(0)= 0 (Nótese que tex'= (1/2)y^{-1/2} que no está definida en y= 0). Podemos escribir la ecuación como y^{-1/2}dy= dx y, integrando, $2y^{1/2}= x+ C$ que es lo mismo que $y= (1/4)(x+ C)^2$ . Si se establece que tanto x como y son iguales a 0, se obtiene C= 0, por lo que a solución $y= (1/4)x^2$ para todo x. Pero y(x)= 0 para todo x también satisface $y'= y^{1/2}$ . Si y= 0 para todo x, entonces y'= 0 y $y^{1/2}= 0$ por lo que la ecuación se convierte en 0= 0. De hecho, podemos obtener un número infinito de soluciones distintas a la ecuación que también satisfacen la condición inicial tomando $y= (1/4(x+ a)^2$ para algún a< 0, y= 0 para a< x< b y $y= (1/4)(x+ b)^2$ para x> b.