Regla de cuadratura lagrangiana compuesta para sin(x)

Question

Supongamos que queremos estimar $\int_0^{h}f(x) dx$ utilizando polinomios interpolantes lagrangianos y con nodos $x_0 = 0,x_1 = \frac{2}{3}h$ . Así, calculamos la regla de cuadratura

$$ Q(f) = a_0f(0)+a_1f(\frac{2}{3}h). $$

Ahora usando el hecho de que $$ a_k = \int_0^hl_k(x)dx $$

podemos encontrar $$ Q(f) = \frac{h}{4}(f(0)+3f(\frac{2}{3}h)). $$

Luego viene la parte en la que me confundo. Se nos pide que encontremos la regla de cuadratura compuesta para $\int_0^1f(x)dx$ y utilizarlo para estimar $\int_0^1 \cos(x)dx$ utilizando un tamaño de paso $h=0.5$ .

No estoy muy seguro de cómo proceder a partir de aquí. Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Dividir el intervalo $[0,1]$ en dos $[0,1/2)\cup [1/2,1]$ para que

$$ \int_0^1{\rm d}x~f(x) = \int_0^{1/2}{\rm d}x~f(x) + \int_{1/2}^1{\rm d}x~f(x) = \int_0^{h}{\rm d}x~f(x) + \int_{h}^{2h}{\rm d}x~f(x) \tag{1} $$

con $h=1/2$ . La segunda integral en la "problemática", para resolverla, utiliza el cambio de variables $y = x - h$ , ${\rm d}x = {\rm d}y$ entonces se convierte en

$$ \int_0^1{\rm d}x~f(x) = \int_0^{h}{\rm d}x~f(x) + \int_{0}^{h}{\rm d}y~f(y + h) \tag{2} $$

Ahora ambas integrales se pueden aproximar con la regla que has descrito. En ambos casos $f(x) = \cos(x)$ para que $\cos(y+h) = \cos(y + 1/2)$