Cómo demostrar esta desigualdad integral $\left(\int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}|f(t)|dt\right)^pdx\right)^{\frac{1}{p}}$ ?

Question

dejar $p>1$ y $f$ es continua y $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^p|dt$ es la convergencia, demuestre que

$$\left(\int_{0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}|f(t)|dt\right)^pdx\right)^{\frac{1}{p}}\le\dfrac{p}{p-1}\left(\int_{0}^{+\infty}|f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}$$

Answer 1

Esta es la desigualdad de Hardy, se puede tratar como la convolución de $|f(x)|x^{1/p}$ con la función $x^{1/p-1}\chi_{[1,\infty)}(x)$ en el grupo multiplicativo $(\mathbb{R}^+,\frac{dt}{t})$ y utilizar la desigualdad de Minkowski:

$\|g*f\|_{L^p(G)}\leq\|g\|_{L^1(G)}\|f\|_{L^p(G)}$