¿Cuál es la diferencia en la torre ciclotómica sobre una extensión ramificada finita de Qp?

Question

Si $K_n$ es el campo $\mathbb{Q}_p(\mu_{p^n})$ entonces es fácil ver que la diferencia relativa $\mathcal{D}(K_n / K_{n-1})$ es $(p)$ para todos $n \ge 2$ .

¿Qué sucede si tomo una extensión finita arbitraria, probablemente totalmente ramificada $L/\mathbb{Q}_p$ y mira la torre $L_n = LK_n$ ? Está claro que $\mathcal{D}(L_n / L_{n-1})$ divide $(p)$ y se puede demostrar (utilizando un resultado general de Tate sobre $\mathbb{Z}_p$ -extensiones) que su valoración tiende a 1 como $n \to \infty$ ; pero ¿es cierto que es igual a $(p)$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ ?

Answer 1

Si $A$ es un anillo conmutativo, un resultado clásico afirma que el anillo de polinomios $A[x]$ es un PID si y sólo si $A$ es un campo. Es un buen ejercicio.

En su caso, como $F[x]$ no es un campo, $F[x,y] \simeq (F[x])[y]$ no puede ser un PID. (No pretendo que sea la mejor prueba).

Para la segunda pregunta, la respuesta de Bruno será difícil de mejorar.

Answer 2

Hay varias maneras de hacerlo. En el pasado he realizado esta tarea con grandes resultados utilizando una combinación de atributos y procesamiento de trama. La premisa del proceso es asignar a cada característica un valor de n (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.). La asignación de estos valores garantiza que cuando se reste la capa 1 (1985) de la capa 2 (1997) se obtenga un valor único, que identifique a qué ha cambiado. Por ejemplo, si 1 = edificios, 2 = parques, 4 = sellado/no sellado y 8 = agua; al restar los valores, no hay forma de obtener el mismo valor. Cuando se agrega esta columna de valores que va a querer convertir los polígonos a un raster, utilizando ya sea ArcGIS o QGIS. Yo recomendaría que usted establece el tamaño de píxel raster a un valor pequeño (es decir, si los datos fueron recogidos de imágenes Quickbird, a continuación, establecer que el tamaño de píxel de las imágenes Quickbird). Usando la Calculadora de Raster (en ArcGIS o QGIS) reste la Capa 2 de la Capa 1. Esto dará como resultado Layer3, la capa cambiada. Puede volver a convertir estos datos en una capa poligonal para su posterior análisis SIG. Si desea más información, o específicos, puedo compartir un más con usted.

Answer 3

He aquí un contraejemplo relativamente fácil. Tomemos $p=2$ , $L=\mathbb{Q}_2(2^{1/3})$ . Hice algunos cálculos directos y vi que $v_2(\mathfrak{D}^{L_2}_L)=2/3$ , $v_2(\mathfrak{D}^{L_3}_{L_2})=5/6$ . Parece que hay un patrón. Pero hay una forma mejor.

Estamos en una situación en la que no sólo $L/\mathbb{Q}_2$ es dócilmente ramificado de grado $3$ pero también cada $L_n/K_n$ . Ahora utilizamos la funtorialidad de la función de transición Hasse-Herbrand: si $k\subset F\subset K$ entonces $\varphi^K_k=\varphi^F_k\circ \varphi^K_F$ . Utilice la relación $\varphi^{L_n}_{\mathbb{Q}_2}=\varphi^{K_n}_{\mathbb{Q}_2}\circ \varphi^{L_n}_{K_n}= \varphi^L_{\mathbb{Q}_2}\circ \varphi^{L_n}_ L$ y el hecho de que una extensión dócilmente ramificada tiene toda la acción de la función de transición en el origen. Es decir, la función es $y=x$ para $x\le 0$ pero $y=x/e$ para $x\ge 0$ , donde $e$ es el índice de ramificación. Así que como funciones reales, $\varphi^L_{\mathbb{Q}_2}=\varphi^{L_n}_{K_n}$ , es decir, esto es sólo $y=x/3$ . En consecuencia, la función de transición de $L_n/L$ se obtiene conjugando la de $K_n/{\mathbb{Q}_2}$ con la función de transición domesticada. El efecto es multiplicar todas las coordenadas de los puntos de vértice por $3$ .

Pero también conocemos la función de transición de $K_n$ en ${\mathbb{Q}_2}$ sus vértices están en todos $(2^{i-1}-1,i-1)$ para $2\le i\le n$ Los nuevos vértices están en $(3,3)$ , $(9,6)$ , $(21,9)$ etc. Esto significa que las pausas inferiores de $L_n/L$ están en $3(2^{i-1}-1)$ para $2\le i\le n$ y, en particular, la ruptura única de $L_n/L_{n-1}$ está en $3(2^{n-1}-1)$ .

Ahora utilice la fórmula \begin {align}{ v_F( \mathfrak {D}^F_k)= \sum_ {j \ge 0} \bigl (|G_j|-1 \bigr ) } \end {align} donde el $G$ son los grupos de ramificación inferiores, y donde en este caso todos los números que se suman son $1$ o $0$ para ver que $v_{L_n}\bigl(\mathfrak{D}^{L_n} _ {L_{n-1}}\bigr)=3(2^{n-1}-1)+1=3\cdot2^{n-1}-2$ . Dividir por el número de ramificación de $L_n$ en $\mathbb{Q}_2$ para conseguir $1-1/(3\cdot 2^{n-2})$ , coincidiendo con mis cálculos para $n=2$ y $n=3$ .

No se trata de una cuestión de ramificación domesticada versus salvaje en la extensión $L/\mathbb{Q}_2$ Tampoco. Utilicé $L=\mathbb{Q}_2(2^{1/4})$ para encontrar que los números son $1-3/2^m$ el argumento es similar pero un poco más delicado, ya que no se tiene una idea a priori de cuál es la función de transición de $L_n/K_n$ podría ser.