Dejemos que $G = \langle a \rangle$ sea un grupo cíclico de orden $n$ . Demuestre que para todo divisor $d$ de $n$ existe un subgrupo $G$ cuyo orden es $d$ .

Question

Dejemos que $G = \langle a \rangle$ sea un grupo cíclico de orden $n$ . Demuestre que para todo divisor $d$ de $n$ existe un subgrupo $G$ cuyo orden es $d$ .

Si $d \mid n$ entonces existe $m \in \mathbb{Z}$ tal que $n = md$ . Desde $a^n = 1_G$ tenemos $a^{md} = (a^m)^d = 1_G $ . ¿Cómo proceder a partir de aquí? Tenemos que $a^m$ es un elemento de orden $d$ pero ¿aún tengo que demostrar que existe un subgrupo $G$ con elementos arbitrarios de la forma $a^m$ ?

Answer 1

Una pista: $a^{\frac{n}{d}}$ tiene orden $d$ .

Answer 2

Basta con considerar el subgrupo cíclico generado por $a^m$ .