En $\sqrt{n}(Y_n-1)$ ¿convergen en la distribución?

Question

Dejemos que $n\in \mathbb{N}$ y considerar, para cada $n$ variables estocásticas independientes de valor real $Z_{1n}\ldots Z_{nn}$ , de tal manera que $$ P(Z_{nk}=n)=1-P(Z_{nk}=0)=\frac{1}{n} $$ para $k=1,\ldots,n$ . Así, $Z_{nk}$ adquiere casi con seguridad los dos valores $n$ y $0$ . Definir $$ Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nZ_{nk} $$

ver que $\mathbb{E}Z_{nk}=np=n\frac{1}{n}=1$ . El utilizamos que las expectativas de las sumas es igual a las sumas de las expectativas, por lo que

$$ \mathbb{E}Y_n=\mathbb{E} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Z_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \mathbb{E}Z_{nk}=\frac{1}{n}n=1 $$ También vemos que $VZ_{nk}=np(1-p)=1-\frac{1}{n}$ . Además. Dado que todos los $Z_{nk}$ están descorrelacionados, tenemos que la varianza de la suma, es igual a la suma de las varianzas. $$ VY_n=V \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n Z_{nk}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n VZ_{nk}=\frac{1}{n}n(1-\frac{1}{n})=\frac{n-1}{n} $$

Más. Por el teorema del límite central sabemos que $$ P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\xi}{\sigma} \leq x\right)\rightarrow \Phi(x) $$

¿Cómo puedo demostrar que la distribución de $\sqrt{n}(Y_n-1)\xrightarrow{D}\mathcal{N}(0,1)$

Answer 1

En primer lugar, tus índices están sobredefinidos, ya que sólo sumas $Z_{kn}$ en $k$ . Así que voy a simplificar tu problema refiriéndome a estos como $Z_k$ . Ahora, defina $X_{k} \sim \text{IID Bern}(1/n)$ y $Z_{k} = n X_{k}$ por lo que ahora se trata de variables indicadoras estándar. Entonces tienes:

$$Y_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n Z_{k} = \sum_{k=1}^n X_{k} \sim \text{Bin}(n,1/n).$$

Sus fórmulas de media y varianza se derivan directamente de esta distribución conocida. La media y la varianza asintótica de $Y_n$ es la unidad, y desde el CLT tenemos:

$$Y_n \xrightarrow{D} \text{N}(1,1).$$

Este es un resultado asintótico diferente al que usted conjetura.