¿La cadena de Markov del producto llega a la diagonal?

Question

Supongamos que $(X_n)$ es una cadena de Markov (espacio de estados contable en tiempo discreto) $S$ ) con matriz de transición irreducible positiva recurrente $P$ . Considere la cadena de productos $(Y_n,Z_n)$ dado por la elección de $(Y_n)$ y $(Z_n)$ cadenas de Markov independientes con matriz de transición $P$ con condiciones iniciales arbitrarias $Y_0, Z_0$ . Sé que si $P$ es aperiódica, entonces la cadena del producto llegará a la diagonal $D=\{(x,x): x \in S\}$ porque la cadena del producto es en sí misma una cadena de Markov ergódica. Si $P$ en lugar de eso tiene punto $k>1$ ¿es aún cierto este resultado?

Answer 1

Considere $P$ dado por el proceso determinista $0 \to 1 \to 0 \to \dots,Y_0=0,Z_0=1$ para obtener un contraejemplo.