Demuestre que para cualquier número entero $a > 1$ s.t. $\gcd(a, 23) = 1$ , $23$ divide $a^{154} - 1$ .

Question

Necesidad de utilizar el Pequeño Teorema de Fermat (Sea $p$ sea un número primo y que $a$ sea un número entero. Entonces $a^p = a \mod p$ . Si $p$ no divide $a$ entonces $a^p-1 \equiv 1 \mod p$ .) $154$ no es primo, pero $154 = 22\cdot 7$ y $23$ es primo, por lo que $a^{22} \equiv 1 \mod 23$ . $a^{154} \equiv a^{22} \cdot a^7 \equiv 1 \cdot 6 \equiv 6 \mod 23$ .

No estoy seguro de cómo proceder. Le agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

HINT $\rm\ \ a^{22}\ \equiv 1\ \Rightarrow\ a^{22\: N}\ \equiv\ 1^N\ \equiv\ 1\:.\ $ Ahora pon $\rm\ N = 7\:$ .

Answer 2

¡Lo has resuelto! Aparte de un error aritmético.

$\displaystyle a^{mn} = (a^{m})^n$ no $\displaystyle a^{m}* a^{n}$ (que en realidad es $\displaystyle a^{m+n}$ )

Además, no estoy seguro de cómo has conseguido $a^7 = 6 \mod 23$ .