Forma alternativa de definir una topología

Question

tl;dr : Al tratar de idear una forma de caracterizar las topologías en términos de vecindades (en lugar de conjuntos abiertos) me encuentro con una estructura extraña, no del todo equivalente a la topología. Me pregunto si puedo arreglar mi definición para dar topologías reales, o bien qué se puede decir de la estructura que he definido.

Definición : Dado un conjunto $X$ , un n-topología $\tau$ en un conjunto $X$ asigna a cada $x \in X$ un conjunto $\tau_x \subseteq \mathcal P(X)$ satisfaciendo las siguientes restricciones:

• $X \in \tau_x$
• Si $N \in \tau_x$ entonces $x \in N$
• Si $N \in \tau_x$ y $N' \supseteq N$ entonces $N' \in \tau_x$
• Si $N, N' \in \tau_x$ entonces $N \cap N' \in \tau_x$ .

Llamamos a los conjuntos en $\tau_x$ el barrios de $x$ .

Claramente, dada una topología sobre un conjunto $X$ obtenemos una n-topología: tomamos los conjuntos $\tau_x$ para ser los barrios de $x \in X$ en sentido topológico, como todos los conjuntos que contienen un conjunto abierto que contiene $x$ . A la inversa, dada una n-topología, obtenemos una topología declarando un conjunto abierto si es una vecindad de todos sus elementos. Además, podemos definir funciones continuas sobre espacios n-topológicos diciendo que $f : (X, \tau) \to (Y, \sigma)$ es n-continuo si $$ N \in \sigma_{f(x)} \implies f^{-1}(N) \in \tau_x. $$ Parece que esta noción coincide con nuestra noción habitual de continuo.

Pasando de la topología a la n-topología, recuperamos la topología original. Sin embargo, al pasar de n-topología a topología a n-topología, podemos perder información. Por ejemplo, podemos definir una n-topología en $\omega$ al afirmar que $\tau_0$ contiene todos los conjuntos cofinitos que contienen 0, mientras que $\tau_n$ para $n > 0$ sólo contiene $\omega$ mismo. Esto satisface claramente las condiciones anteriores. Si lo convertimos en una topología, obtenemos la topología indiscreta $\{\emptyset, \omega\}$ en $\omega$ , que también podríamos haber obtenido tomando $\tau_n = \{\omega\}$ para cada $n \in \omega$ .

Pregunta : ¿Puedo añadir una condición a esta noción de "n-topología" para que sea una definición equivalente a las topologías ordinarias? La cosa que llamo n-topología es algo interesante -- ¿alguien más la ha utilizado, y si es así bajo qué nombre?

Answer 1

La idea de axiomatizar la noción de "vecindad" no es nueva. Wikipedia tiene una discusión de una axiomatización que atribuyen a Félix Hausdorff. Tiene los mismos axiomas que usted y uno más:

• Si $N \in \tau_x$ existe $M \in \tau_x$ tal que $M \subseteq N$ y para todos $y \in M$ tenemos $N \in \tau_y$ .

Con este axioma adicional, se obtiene de hecho una noción equivalente a la noción habitual de topología. En particular, utilizando tu definición de "abierto", tienes el teorema de que toda vecindad de $x$ contiene una vecindad abierta de $x$ . Tenga en cuenta que su contraejemplo sobre $\omega$ no satisface este axioma adicional.