Valores propios de una expresión

Question

Mientras trabajaba me encontré con un problema en el que $$\det(A+xB)$$ donde $A, B \in M_n(\mathbb{C}), x \in \mathbb{R}$ . Si denotamos por $a_1, a_2, ..., a_n$ los valores propios de $A$ y por $b_1, b_2, ..., b_n$ los valores propios de $B$ Se sabe, por ejemplo, que $\det(A)=a_1a_2...a_n$ . Mi pregunta es:

¿Es cierto que los valores propios de $A+xB$ son $(a_1+xb_1), (a_2+xb_2),...,(a_n+xb_n)$ ? ¿Por qué? ¿Es válido para cualquier tipo de expresión que implique $2$ ¿o más matrices?

Por ejemplo, Lord Shark the Unknown utilizó aquí que "sólo los posibles valores propios de $I+A-A^2$ son $1+0-0^2=1$ y $1+1-1^2=1$ "

Answer 1

Dejemos que $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}$ , entonces el trazado es $0$ con determinante $-5$ por lo que los valores propios son $\sqrt5$ y $-\sqrt5$ .

Dejemos que $B= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}$ el rastro es $0$ con determinante $1$ por lo que los valores propios son $i$ y $-i$ .

Si los sumamos, tenemos $A+B=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 &-2\end{bmatrix}$ con valores propios $2$ y $-2$ que no puede escribirse como la suma de los valores propios de los valores propios de $A$ y $B$ .

Answer 2

Esto no es cierto en general, y es muy fácil escribir un contraejemplo. Deberías hacerlo como ejercicio.

Sin embargo, si $A$ y $B$ tienen los mismos eigenspaces, asociados a los índices correspondientes, entonces su fórmula se mantiene. Esto también es fácil de demostrar. El caso inverso también se cumple debido a su variable $x$ .