Una célula contiene $N$ cromosomas, entre dos de los cuales puede producirse un intercambio de partes. Si $r$ se produzcan intercambios entonces cuál es la probabilidad de que exactamente $m$ cromosomas estaban involucrados? La respuesta es $$\dbinom{N}{m}\dbinom{N}{2}^{-r}\sum_{k=2}^{m}(-1)^{m-k}\dbinom{m}{k}\dbinom{k}{2}^r$$ El problema lo planteaba así: Primero elijamos dos de ellos en $\dbinom{m}{2}$ formas y pueden intercambiarse en $\dbinom{2}{2}^r=1$ maneras. Entonces habrá algún exceso de conteo y tendremos que restar $\dbinom{m}{3}\dbinom{3}{2}^r$ y así sucesivamente. Pero hay algún problema. No consigo el $(-1)^{m-k}$ parte. Creo que podríamos necesitar la inclusión y la exclusión, pero nada funciona. No entiendo cuáles deberían ser los eventos sobre los que aplicaría el principio de inclusión y exclusión. ¿O quizás hay alguna otra forma? En fin, cualquier ayuda se agradece. Gracias.
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Sustituyendo $k$ por $m-k$ en la suma anterior y utilizando esa $\binom{m}{k}=\binom{m}{m-k}$ la probabilidad dada, que a partir de ahora llamaremos llamaremos $p$ puede expresarse de forma equivalente como $$p = \binom{N}{m} \binom{N}{2}^{-r} \sum_{k=0}^{m-2} (-1)^{k} \binom{m}{k} \binom{m-k}{2}^r.$$ Obsérvese que la fórmula anterior sólo puede ser válida si $m \leq 2r$ porque como máximo puede haber $2r$ cromosomas implicados en $r$ emparejamientos (por lo que si $m > 2r$ entonces $p=0$ ). Para comprobar que efectivamente es correcto, primero calculamos que hay $\binom{N}{2}^r$ formas de tener $r$ interacciones entre $N$ cromosomas (donde es importante darse cuenta de que un solo cromosoma puede interactuar varias veces). Ahora contamos la fracción de esas interacciones en en las que exactamente $m$ cromosomas están involucrados. Para ello, primero elegimos $m$ cromosomas, lo que da el factor $\binom{N}{m}$ . Entonces, suponiendo que $A_{m,r}$ es igual al número de formas en que podemos dejar $m$ los cromosomas interactúan $r$ veces entre sí, de manera que cada una de esas $m$ cromosomas participa en al menos una al menos una interacción, tenemos que $$p = \frac{\binom{N}{m} A_{m,r}}{\binom{N}{2}^r}.$$ Por lo tanto, hemos terminado si podemos demostrar que $$A_{m,r} = \sum_{k=0}^{m-2} (-1)^k \binom{m}{k} \binom{m-k}{2}^r.$$ Pero esto es, como ya has asumido, sólo el principio de inclusión-exclusión (lo describo sin describo esto sin mucho formalismo con la esperanza de que sea mejor comprensible): Primero cuentas todas las formas posibles de dejar que el $m$ los cromosomas interactúan $r$ veces, lo que da $\binom{m}{2}^r$ . Ahora se restan todas aquellas formas en las que al menos un cromosoma no está involucrado (elige el cromosoma que no interactúa, lo que da $\binom{m}{1}$ entonces deja que el resto de $m-1$ interactuar en todas las formas posibles maneras, dando $\binom{m-1}{2}^r$ ): $$\binom{m}{2}^{r} - \binom{m}{1} \binom{m-1}{2}^r$$ Ahora hay que añadir todas aquellas formas en las que no intervienen al menos dos cromosomas involucrados ( $\binom{m}{2} \binom{m-2}{2}^r$ posibilidades, de nuevo primero elige las dos que no están involucradas, luego distribuye el $r$ interacciones entre los restantes $m-2$ ) y así sucesivamente, dando la identidad para $A_{m,r}$ y terminando la prueba.
