Mi libro de texto dice "La parte de la lógica en la que se examinan las clases y sus propiedades se llama teoría de las clases" (clases significa conjuntos)
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user2318170
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En cierto sentido, la teoría de conjuntos es una actividad matemática como cualquier otra: tenemos unos axiomas que describen objetos matemáticos e intentamos demostrar teoremas sobre ellos. Esto no es más que lógica en el mismo grado en que todas las matemáticas lo son. Este es el punto de vista al que se refiere Mauro en los comentarios anteriores.
Pero la lógica matemática es el campo de las matemáticas que presta especial atención a la idioma que utilizamos para hablar de los objetos matemáticos (definibilidad) y la formas de razonar sobre ellas (probabilidad). Y se me ocurren (al menos) tres razones por las que la teoría de conjuntos suele considerarse un subcampo de la lógica matemática.
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En el nivel más básico, definimos un conjunto reuniendo los objetos que satisfacen alguna propiedad. Para precisar "alguna propiedad", necesitamos disponer de un lenguaje para especificar las propiedades, lo que nos sitúa de lleno en el ámbito de la lógica. Esto se refleja en los axiomas de ZFC mediante el esquema axiomático de separación: tenemos un axioma para cada fórmula en el lenguaje de primer orden de la teoría de conjuntos. Creo que este punto de vista es al que se refiere tu libro de texto.
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La teoría de conjuntos se utiliza habitualmente como base de las matemáticas. Así que no sólo nos importa la teoría de conjuntos en sí misma, sino nuestra capacidad para interpretar el resto de las matemáticas en teoría de conjuntos. Esto significa que queremos, al menos en principio, ser capaces de traducir las pruebas de todo el resto de las matemáticas a pruebas en el lenguaje de la teoría de conjuntos. De nuevo, pensar en pruebas e interpretaciones es definitivamente lógica.
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Por último, debido a la naturaleza fundacional de la teoría de conjuntos, nos encontramos con fenómenos de incompletitud con mucha más frecuencia en la teoría de conjuntos que en otras áreas de las matemáticas. Es decir, es mucho más común que una pregunta natural en la teoría de conjuntos sea indecidible a partir de nuestros axiomas matemáticos que en, por ejemplo, la teoría de números. Como resultado, mucha de la investigación en la teoría de conjuntos se centra en la demostrabilidad. En lugar de demostrar teoremas en ZFC (aunque los teóricos de conjuntos ciertamente lo hacen), un teórico de conjuntos a menudo demostrará que algún teorema es no demostrable en ZFC, o que algún axioma adicional más allá de ZFC es necesario para demostrar algún teorema. ¡Eso es lógica!
Eleonore Saint James
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Una respuesta básica. No pretendo que las razones que expongo aquí sean correctas. Lo que quiero decir es que podrían explicar ( o se ha pensado que explican, en el pasado) por qué la teoría de conjuntos puede considerarse como una parte de la lógica.
- Supongamos que se quiere demostrar que "El complemento de A U B" es "la intersección del complemento de A y del complemento de B".
Se trata de una ley teórica de conjuntos.
Para demostrarlo, traducirás esta frase al lenguaje de la pertenencia y dirás que : (es falso que x pertenezca a A O que x pertenezca a B) es equivalente a (x no pertenece a Y x no pertenece a B).
Y para demostrarlo, utilizará una ley de la lógica, a saber: La ley de DeMorgan.
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Del mismo modo, el contenido de la idea de "inclusión" en la teoría de conjuntos puede reducirse a la noción lógica de "implicación" : A está incluido en B puede traducirse ( y de hecho se define) como : para todo x, x pertenece a A --> x pertenece a B.
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Otra posible explicación :
(1) la lógica se ocupa de la validez de los razonamientos
(2) la teoría de conjuntos explica la validez de un cierto tipo de razonamiento, a saber, los razonamientos que tratan de conjuntos
(3) por lo tanto, la teoría de conjuntos es una parte de la lógica.
- Otra explicación más:
(1) la lógica es la teoría de los juicios atributivos ( s IS P)
(2) existe una correspondencia perfecta entre los juicios de atribución y los juicios de pertenencia (esta es la razón por la que Peano eligió el símbolo "episilon" para "es miembro de", siendo epsilon la primera letra del verbo griego "ser") [Nota: esta supuesta correspondencia perfecta se ha derrumbado con el descubrimiento de la paradoja de Russell: de hecho, ser P no equivale a ser miembro del conjunto de P].
(3) por lo tanto : la teoría de conjuntos es simplemente un reflejo de la lógica en el ámbito de los conjuntos, la teoría de conjuntos es una parte de la lógica.
Véase: en Windelband's Enciclopedia de las ciencias filosóficas ( en archive.org) el capítulo de Lógica de Louis Couturat , más precisamente: "La lógica de los conceptos": todo concepto es una función proposicional, y es un axioma de la lógica que "a toda función proposicional corresponde una clase que constituye su extensión".
https://archive.org/details/encyclopaediaoft00unknuoft/page/n170/mode/1up
Louis Couturat fue un seguidor francés (y amigo) de Bertrand Russell.
