Imagen inversa de un módulo noetheriano bajo un morfismo de módulo

Question

Durante mi sesión de ejercicios de álgebra conmutativa tuvimos la siguiente pregunta:

Supongamos que $f: M \to N$ es un morfismo de $R$ -(donde $R$ es un anillo conmutativo con 1). Supongamos que $N$ es noetheriano, es $\ker f$ ¿Noteriano?

Sé que la respuesta es "no", ya que si consideramos el mapa zonal de cualquier noetheriano $R$ -al módulo cero, entonces tenemos un contraejemplo.

Sin embargo, me preguntaba qué podríamos decir si $f$ no es el mapa cero y tengo el siguiente intento: He intentado demostrar que $f^{-1}(N)$ es noetheriano.

Dejemos que $S$ sea un submódulo de $f^{-1}(N)$ entonces $f(S)$ es un submódulo de $N$ por lo que está finitamente generada ya que $N$ es noetheriano. Denotemos $f(S) = \langle s_1, \ldots, s_n\rangle$ . Desde $s_1, \ldots, s_n$ son elementos de la imagen de $f$ podemos elegir elementos $m_1, \ldots m_n$ en $M$ tal que $f(m_i) = s_i$ . Si $s \in S$ entonces $f(s) = r_1s_1 + \ldots r_ns_n$ y así podemos escribir que $s = r_1m_1 + \ldots r_nm_n$ . Por lo tanto, $S$ es un submódulo finitamente generado de $f^{-1}(N)$ y así $f^{-1}(N)$ es un noetheriano $R$ -módulo.

Desde $\ker f$ es un submódulo de $f^{-1}(N)$ tenemos que $\ker f$ es noetheriano.

Supongo que el paso en el que escribo $s$ como combinación lineal de los $m_i$ es dudoso, así que mi pregunta es: ¿es la imagen inversa de un módulo noetheriano (bajo un mapa distinto de cero) noetheriano?

Answer 1

Toma tu módulo noetheriano favorito $N$ y considerar una suma directa $M=N^{(X)}$ de copias de $N$ con $X$ un conjunto infinito.

Ahora demuestre que el mapa $$ \sigma\colon N^{(X)}\to N,\qquad (n_x)_{x\to X}\mapsto \sum_{x\in X}n_x $$ tiene un núcleo noetheriano si y sólo si $N=0$ .

Otro ejemplo más sencillo, en el que $M$ está generada finitamente. Tomemos un anillo noetheriano $R$ un ideal máximo $\mathfrak{m}$ y establecer $M=R$ , $N=R/\mathfrak{m}$ . Entonces $N$ es obviamente noetheriano, pero el núcleo de la proyección $R\to R/\mathfrak{m}$ no es noetheriano.

Ahora, intentemos ser más generales: demuestre lo siguiente.

Supongamos que $f\colon M\to N$ es un morfismo de $R$ -módulos. Si la imagen $f(N)$ es noetheriano y $\ker f$ es noetheriano, entonces también $M$ es noetheriano.

---

¿En qué se equivoca su intento? Tenga en cuenta que $f^{-1}(N)=M$ por definición. Si $S$ es un submódulo de $M$ entonces $f(S)$ es ciertamente generada finitamente, pero no es cierto que, dado que $f(m_1),\dots,f(m_n)$ generar $f(S)$ También $m_1,\dots,m_n$ generar $S$ . Lo único que puede decir es que $$ m_1R+\dots+m_nR+\ker f=S $$ pero entonces estás condenado, porque ves que necesitas $\ker f$ para ser noetheriano.

Answer 2

Un contraejemplo muy sencillo: tomemos un ideal maximal no generado infinitamente de un anillo no etereo, es decir, el ideal $(X_0,X_1,\dots, X_n,\dots)$ en el anillo polinómico $k[X_0,X_1,\dots, X_n,\dots]$ sobre un campo $k$ .

Entonces $k[X_0,X_1,\dots, X_n,\dots]/(X_0,X_1,\dots, X_n,\dots)\simeq k$ es noetheriano (y artiniano) ya que es un campo.

Con el mismo espíritu: Toma una altura no discreta $1$ dominio de valoración $V$ y su campo residual. El ideal máximo de $V$ es no generado finitamente, ya que esto implicaría $V$ es un dominio de valoración discreta.