Encuentra el área exacta de la superficie obtenida al girar la curva alrededor del eje x?

Question

Así que dada esta curva: $$y=\sqrt{9x-18},\ \ 2 \le x \le 6$$

Y usando esta encantadora fórmula: $$\int2πy\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx$$

Esto es lo que obtengo por un montaje:

$$\int_2^62π \sqrt{9x-18}\sqrt{(\frac{2x-3}{2x-24})} dx$$

No sé, este montaje se ve bastante raro. Creo que metí la pata al cuadrar (dy/dx).

Answer 1

Nuestra función es $3\sqrt{x-2}$ . Tenemos $\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2\sqrt{x-2}}$ . Cuadrado, añadir $1$ y llevar a un denominador común. Obtenemos $\frac{4x+1}{4(x-2)}$ .

Tomar la raíz cuadrada, multiplicar por $(2\pi)3\sqrt{x-2}$ . Hay una cancelación muy agradable.

Answer 2

También puede utilizar $x=\frac{1}{9}(y^2+8)$ para conseguir $\frac{dx}{dy}=\frac{2}{9}y$ Así que

$\displaystyle S=\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{46}}2\pi y\sqrt{1+\frac{4}{81}y^2} dy=\frac{2\pi}{9}\int_{\sqrt{10}}^{\sqrt{46}}y\sqrt{81+4y^2} dy$ .

Ahora dejemos que $u=81+4y^2$ $\;$ para conseguir $\displaystyle\frac{\pi}{36}\int_{121}^{265}\sqrt{u} \;du$ .