Dejemos que $\mathcal{M}^{+}(\mathbb{R}_{+})$ sea el espacio de los no negativos Medidas contra el radón en $\mathbb{R}_{+}$ con variación total acotada y definir la métrica $\rho$ en $\mathcal{M}^{+} (\mathbb{R}_{+})$ como $$ \rho(\mu,\nu)= \sup \left \{ \int_{\mathbb{R}_{+}} \psi d (\mu - \nu) ~|~ \psi \in C^{1}(\mathbb{R}_{+}), \|\psi \|_{\infty} \le 1 , \|\partial_{x} \psi \|_{\infty} \le 1 \right \} .$$ Cómo probar $\mathcal{M}^{+}(\mathbb{R}_{+})$ es completa con respecto a $\rho$ . Sé que $$ \lim_{n \to \infty} \rho(\mu_{n},\mu) = 0 \iff \mu_{n} \to \mu~ \text{narrowly for}~ n \to \infty.$$ ¿Pero cómo puede ayudarnos la equivalencia anterior a demostrar la completitud?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Suponiendo que la equivalencia anterior es válida, sólo hay que demostrar que $\lim_{m,n \to \infty} \rho(\mu_m,\mu_n) = 0$ implica una estanqueidad uniforme de la secuencia $(\mu_n)$ . Así que dejemos $\epsilon > 0$ sea arbitraria. Entonces hay $n_0 \in \mathbb{N}$ con $\rho(\mu_m,\mu_n) \leq \epsilon$ para $m,n \geq n_0$ En particular $\mu_n(\mathbb{R}_+) - \mu_m(\mathbb{R}_+) < \epsilon$ . Desde $\mu_{n_0}$ está apretado, hay $t_0 \in \mathbb{R}_+$ con $\mu_{n_0}((t_0,\infty)) \leq \epsilon$ . Ahora dejemos que $\psi \geq 0$ sea cualquier con las propiedades anteriores y con $\psi|{[0,t_0]} \equiv 0$ , $\psi|{[t_0+2,\infty]} \equiv 1$ y $\psi$ creciente. Tal función existe. Entonces $$\mu_n((t_0+2,\infty)) \leq \int \psi~d\mu_n \leq \int \psi~d\mu_{n_0} + \epsilon \leq 2\epsilon.$$ De ello se desprende que $(\mu_n)$ es uniformemente ajustado, por lo que existen puntos límite $\mu$ con respecto a la topología estrecha. Pero entonces $\mu_{n_k} \to \mu$ débilmente para alguna subsecuencia $(\mu_{n_k})$ Por lo tanto $\rho(\mu_{n_k},\mu) \to 0$ por la equivalencia anterior. Dado que $(\mu_n)$ es Cauchy neceesariamente $\mu$ es único y $\lim_{n \to \infty} \rho(\mu,\mu_n) = 0$ .
