Medibilidad de conjuntos de pares

Question

Supongamos que $(X,\mathcal{B},\mu)$ es un espacio de medidas, y sea $B\subseteq X^2$ sea un conjunto arbitrario.

1) ¿Existe una buena caracterización de las circunstancias en las que hay una $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{C}\supseteq\mathcal{B}$ y una medida $\nu$ en $\mathcal{C}$ ampliando $\mu$ tal que $B$ es medible con respecto a $\mathcal{C}\times\mathcal{C}$ ?

2) ¿Es posible que haya extensiones distintas $\mathcal{C}_1,\nu_1$ y $\mathcal{C}_2,\nu_2$ tal que $B$ es medible con respecto a $\mathcal{C}_1\times\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2\times\mathcal{C}_2$ pero $\nu_1^2(B)\neq \nu_2^2(B)$ ?

3) Si la respuesta a la pregunta 2 es afirmativa, ¿existe una buena caracterización de las circunstancias en las que las extensiones de $\mathcal{B}$ asignar un valor único a la medida de $B$ ?

(Si ayuda, $\mathcal{B}$ se puede suponer que tiene o no tiene propiedades agradables como la separabilidad o ser una medida regular de Borel).

Answer 1

Sin regularidad al menos, estas patologías pueden ocurrir. De hecho, no es necesario tomar productos para conseguirlas. Puede ocurrir que con $A\subset X$ tenemos $\nu_1(A)\neq \nu_2(A)$ . Tomando el producto de $A$ con $X$ produce contraejemplos como el buscado en (2).

En primer lugar, es fácil hacerlo de forma trivial haciendo $X$ un espacio con dos o más puntos y $\mathcal{B}=\{\emptyset,X\}$ . Tomando $\mathcal{C}=\{\emptyset,A,A^c,X\}$ donde $A,A^c\neq\emptyset$ podemos asignar $\nu_i(A)$ para ser algo menos que $\mu(X)$ .

Esto también puede hacerse en casos no triviales. Sea $X=[0,1]$ , $\mu$ sea la medida de Lebesgue, y $\mathcal{B}$ el conjunto de conjuntos medibles de Lebesgue. Sea $A\subset[0,1]$ sea un conjunto de medidas internas de Lebesgue $0$ y la medida exterior $1$ . Dejemos que $\mathcal{C}$ sea el álgebra sigma generada por $\mathcal{B}$ y $A$ .

Se pone en $C$ son de la forma $(Y\cap A)\sqcup (Z\cap A^c)$ donde $Y,Z\in\mathcal{B}$ . Supongamos que podemos expresar un conjunto de dos maneras diferentes de esta forma: $(Y\cap A)\sqcup (Z\cap A^c) = (Y'\cap A)\sqcup (Z'\cap A^c)$ . Entonces la diferencia simétrica de $Y$ y $Y'$ está contenida en $A^c$ , que tiene la medida interna de Lebesgue cero. Pero esta diferencia simétrica también es medible por Lebesgue, por lo que tiene medida de Lebesgue cero. Por tanto, $\mu(Y) = \mu(Y')$ . Del mismo modo, $\mu(Z) = \mu(Z')$ . Por lo tanto, si definimos $\nu\left((Y\cap A)\sqcup (Z\cap A^c)\right) = \lambda \mu(Y)+(1-\lambda)\mu(Z)$ para cualquier $\lambda\in[0,1]$ obtenemos una medida bien definida sobre $\mathcal{C}$ que amplía $\mu$ y satisface $\nu(A) = \lambda$ .

Esto me lleva a creer que no vas a conseguir ninguna condición agradable en la medida $\mu$ para asegurar la unicidad, a menos que las medidas que consideres "agradables" sean muy diferentes de la medida de Lebesgue o que creas en un universo teórico de conjuntos en el que conjuntos como $A$ no existen.