Descenso de Milnor para espectros anulares

Question

Supongamos que dado un cuadrado cartesiano homotópico de espectros de anillos (conmutativos) (o (c)dgas)

$\begin{matrix}A & \to & A_1 \\ \downarrow & & \downarrow \\ A_2 & \to &A'\end{matrix}.$

Aquí los morfismos son morfismos de espectros de anillos (dgas) y por homotopía cartesiana quiero decir que el diagrama subyacente de espectros (complejos de cadenas) es homotopía cartesiana (equivalentemente, cocartesiana).

Déjame escribir $Mod(A)$ para el establo $\infty$ -categoría (categoría dg) de $A$ -y lo mismo para los demás anillos. Existe un diagrama inducido de las categorías del infinito

$\begin{matrix}Mod(A) & \to & Mod(A_1) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Mod(A_2) & \to &Mod(A')\end{matrix},$

donde los morfismos vienen dados por el cambio de base. Recordemos el producto de fibras de homotopía $Mod(A_1) \times^h_{Mod(A')} Mod(A_2)$ obtenemos un functor $F: Mod(A) \to Mod(A_1) \times^h_{Mod(A')} Mod(A_2)$ .

Quiero saber si hay criterios (manejables) para $F$ para ser una cuasi-equivalencia?

He aquí algunas observaciones:

• En http://arxiv.org/abs/1201.6118 los autores proporcionan un bonito modelo explícito para el producto de fibras de homotopía de las categorías dg, véase la sección 4. También afirman que $F$ es una cuasi-equivalencia si el diagrama es realmente cartesiano, los dgas no tienen grupos homotópicos positivos (en la notación de los topólogos), y las cadenas de grado cero satisfacen el descenso de milnor (c/f abajo). Me interesaría un criterio más "homotópico".

• Supongamos que todos los anillos son conmutativos. Permítanme escribir $P(A) \subset Ho(Mod(A))$ para la subcategoría karoubi-cerrada aditiva generada por $A$ . Si el diagrama

$\begin{matrix}\pi_0(A) & \to & \pi_0(A_1) \\ \downarrow & & \downarrow \\ \pi_0(A_2) & \to &\pi_0(A')\end{matrix}$

es cartesiano y uno de los mapas inferior/derecho es suryente, entonces tenemos que $P(A) \to P(A_1) \times_{P(A')} P(A_2)$ es una equivalencia. Se trata de la descendencia milnor.

• Utilizando el modelo explícito para $Mod(A_1) \times^h_{Mod(A')} Mod(A_2)$ , es decir, que los objetos sean triples $(M_1, M_2, \phi)$ donde $M_i \in Mod(A_i)$ y $\phi: M_1 \otimes_{A_1} A' \to M_2 \otimes A_2 A'$ es una equivalencia cerrada de grado cero, se define un functor $R: Mod(A_1) \times^h_{Mod(A')} Mod(A_2) \to Mod(A)$ cartografía $(M_1, M_2, \phi)$ a la fibra homotópica de $M_1 \oplus M_2 \to M_2 \otimes_{A_2} A'$ (visto como un diagrama de $A$ -módulos). Creo que los funtores $Ho(F), Ho(R)$ son contiguos y $RF$ es equivalente al functor de identidad. También creo que $FR$ es equivalente al functor de identidad si (y sólo si) $F$ tiene imagen densa, es decir, si $Mod(A_1) \times^h_{Mod(A')} Mod(A_2)$ es generado por $F(A)$ . No sé cómo hacer uso de este criterio.

• Como nota al margen, en el caso conmutativo, todas las categorías son monoidales simétricas. El functor $F$ es monoidal simétrica, pero no veo por qué $R$ (o $Ho(R)$ sería (a menos que $F$ es una cuasi-equivalencia)$.

Answer 1

Llamaré a un objeto con grupos de homotopía negativos evanescentes (objetos) -1-conectado, y a un objeto con sólo un número finito de grupos de homotopía negativos no evanescentes (objetos) conectivo. (¡Esto está en desacuerdo con Lurie!)

El comentario de Akhil apunta exactamente en la dirección correcta. De hecho, la proposición 7.6 de DAG-IX es básicamente una respuesta a mi pregunta: Si $A, A_1, A_2, A'$ están conectadas con -1, entonces $Mod(A)$ etc tienen buenas estructuras t (el functor de olvido a los espectros es exacto). Escribe $Mod(A)_+$ para la subcategoría triangulada de objetos conectivos, etc. Entonces el functor $F: Mod(A)_+ \to Mod(A_1)_+ \times^h_{Mod(A')_+} Mod(A_2)_+$ es una equivalencia, siempre que $\pi_0(A_1) \to \pi_0(A')$ es suryente.

Esta declaración es ligeramente diferente a la de Lurie. En primer lugar, utiliza $Mod(A)_{\ge 0}$ etc, pero el caso conectivo se obtiene simplemente desplazando. En segundo lugar, asume que $\pi_0(A_2) \to \pi_0(A')$ también es sobreyectiva, pero esto no es necesario. Sólo utiliza esta suposición en la última frase, para deducir que $\pi_n(M) = 0$ . Pero él ya sabe que $N \in Mod(A_1)_{> n}$ y por lo tanto $P \simeq N \otimes_{A_1} A' \in Mod(A')_{> n}$ . Así, $0 = \pi_n(P) = \pi_n(M)$ . Al menos, a menos que me esté perdiendo algo...

La advertencia 7.3 muestra que la suposición de conectividad no puede eliminarse, incluso si $A_1, A_2, A'$ son discretos.