Por lo que a mí respecta, sí es "por declaración".
La elección es hasta cierto punto arbitraria, pero pienso en las propiedades características $\Psi$ de un concepto $\sf C$ como el (o quizás, a ) conjunto mínimo de condiciones tales que:
Si $X$ disfruta de todo $\Psi$ entonces $X$ puede llamarse sensatamente una instancia de $\sf C$ .
Por ejemplo, como propiedades características de un par ordenado $(\ast,\circ)$ buscamos extraer, dado $(\ast,\circ)$ que:
- El primer elemento del par es $\ast$ ;
- El segundo elemento del par es $\circ$ ,
que en particular incluye que $(\ast,\circ)=(\ast',\circ')$ implica $\ast = \ast'$ y $\circ=\circ'$ .
En el caso de los ordinales (probablemente sea mejor hablar de la clase de los ordinales), es menos evidente qué incluyen exactamente las propiedades características. Está claro que deberíamos obtener "todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un único ordinal"; la conocida (y muy utilizada) identidad $\alpha = \{\beta: \beta < \alpha\}$ o quizás $\alpha = \{\beta: \beta \text{ has an order-embedding into } \alpha\}$ es objeto de debate, aunque es tan conveniente que personalmente me gustaría que se me permitiera utilizarlo.
Vale la pena señalar que en la teoría de categorías, este tipo de identificación de "propiedades características" (más conocidas como "propiedades universales" en ese campo) se hace todo el tiempo. En efecto, se adopta un punto de vista general en el que las propiedades espurias simplemente no están disponibles: una vez que se construye una cosa determinada (digamos, un producto cartesiano), nos deshacemos de la construcción específica y simplemente trabajamos con la propiedad universal (hasta que surja la necesidad de demostrar otra propiedad universal).