Admisibilidad de las representaciones

Question

Considere una representación suave $(\pi,V)$ del grupo $G=GL_n(\mathbb{Q}_p)$ . Se dice que la representación es admisible si para cada subgrupo compacto abierto $K \subseteq G$ el espacio $V^K$ de $K$ -vectores fijos es de dimensión finita.

Para un subgrupo compacto abierto $K$ , dejemos que $\hat{K}$ sean las clases de equivalencia de las representaciones unitarias irreducibles, y para $\rho \in \hat{K}$ podemos definir el $\rho$ -componente isotípico, denotado $V^{\rho}$ de la representación $\pi$ . Por ejemplo, si $\rho$ es la representación trivial, entonces $V^{\rho}=V^K$ y, de hecho, podemos caracterizar la admisibilidad de forma equivalente como sigue: la representación $(\pi,V)$ es admisible si para cada subgrupo compacto abierto $K \subseteq G$ y cada $\rho \in \hat{K}$ El $\rho$ -componente isotípico $V^{\rho}$ es de dimensión finita.

Pero esto parece una exageración. ¿Realmente necesitamos "para cada subgrupo compacto abierto $K$ y cada $\rho \in \hat{K}$ "? ¿Y si para algún subgrupo compacto abierto fijo $K$ se sostiene que para cada $\rho \in \hat{K}$ , $V^{\rho}$ es de dimensión finita. ¿Bastará eso para concluir algo sobre la admisibilidad de $\pi$ ?

Answer 1

Tienes razón. Si hay algún subgrupo abierto compacto $K$ de $G$ para lo cual el $\rho$ -componente isotípico $V_\rho$ es de dimensión finita para cada representación lisa irreducible $\rho$ de $K$ entonces $V$ es admisible. Para ver esto, consideremos primero un normal subgrupo $K_1$ de $K$ . Entonces el subespacio $V^{K_1}$ de $K_1$ -vectores fijos es $K$ -estable. El hecho de que $V$ es $K$ -semisimple implica que $V^{K_1}$ es $K$ -semisimple también, y de hecho, tenemos

$$V^{K_1} = \bigoplus_{\tau\in\widehat{K/K_1}}(V^{K_1})_\tau,$$

donde $\tau$ recorre las representaciones lisas irreducibles (es decir, de dimensión finita) de la finito grupo $K/K_1$ . Así que sólo hay un número finito de componentes isotípicos en la suma directa anterior. Además, tenemos $(V^{K_1})_\tau=V_\rho$ , donde $\rho$ es la inflación de $\tau$ a $K$ a lo largo del homomorfismo $K\to K/K_1$ . Así,

$$\dim((V^{K_1})\tau)=\dim(V_\rho)<\infty$$

por la suposición de $V$ . Así que $V^{K_1}$ es de dimensión finita. Ahora bien, si $K^\prime$ es cualquier subgrupo abierto compacto de $G$ lo que sea, que $K_1$ sea un subgrupo normal abierto de $K$ contenida en $K^\prime\cap K$ . Entonces $V^{K^\prime}\subseteq V^{K_1}$ y como ya hemos demostrado que $V^{K_1}$ es de dimensión finita, podemos concluir que $V^{K^\prime}$ también lo es.