¿Cómo encuentro la primera integral de esta EDO de segundo orden?

Question

Así que ya me han dado que $G=\lVert \mathbf{x}\rVert$ (norma euclidiana) que, por tanto, es simplemente $\sqrt{x^2+y^2}$ . Así que aquí $G$ es una primera integral.

Y dado $\ddot{x}+\mu(x^2-1)\dot{x}+x=0$ para $\mu > 0$ Estoy tratando de encontrar para qué valores de $\mu$ se satisfaría esta primera integral.

Ahora lo que me confunde es cómo calcular realmente la primera integral de esta EDO de 2º orden, sólo entonces puedo ver qué tipo de valor (quizás ninguno) de $\mu$ satisfaría esta G.

Se agradecería mucho la ayuda.

Answer 1

Sugerencia: reescribir el sistema poniendo $y = \dot{x}$ Es decir $$ \begin{cases} \dot{x} = y \\ \dot{y} = -x-\mu (x^2-1)y. \end{cases} $$ Por lo tanto, \begin {align} \frac {d}{dt}(x^2+y^2) & = 2x \dot {x}+2y \dot {y} \\ & = -2 \mu y^2(x^2-1). \end {align}