Si consideramos un mapa $f : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m $ . Entonces entiendo el diferencial $f'(p) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ como el mapa que dado $v$ me da el cambio a primer orden del mapa $f$ a lo largo de $v$ . ¿Esto es correcto? Pero, ¿qué pasa con $f''(p) : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ y $f'''(p) : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ ¿cuál es la interpretación de $(v_1,v_2), (v_1,v_2,v_3)$ y de $f''(p)(v_1,v_2)$ y $f'''(p)(v_1,v_2,v_3)$ ?
Respuesta
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Denota por $e_i$ los vectores base estándar de $\mathbb{R}^n$ . Utilizaré la notación $D^nf|_{p} \colon \mathbb{R}^n \times \dots \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ para el $n$ -derivada de $f$ en $p$ . Entonces tenemos
$$ Df|_{p}(e_i) = \frac{\partial f}{\partial x^i}(p) $$
y más generalmente, para un $v \in \mathbb{R}^n$ tenemos
$$ Df|_{p}(v) = \left. \left( \frac{d}{dt} f(p + tv)\right)\right\rvert_{t = 0} $$
así que $Df|_{p}(v)$ le da la derivada direccional de $f$ en $p$ en dirección a $v$ .
Si se desentraña la definición de $D^2f|_{p}$ , descubrirá que
$$ D^2f|_{p}(e_i, e_j) = \frac{\partial f}{\partial x^i x^j}(p). $$
Así, los componentes del tensor $D^2f|_{p}$ con respecto a la base estándar te dan todas las segundas derivadas parciales de $f$ (con respecto a las coordenadas asociadas). De forma más general, para $v,w \in \mathbb{R}^n$ tenemos
$$ D^2f|_{p}(v,w) = \frac{\partial}{\partial s} \left. \left( \left.\left( \frac{\partial}{\partial t} f(p + tv + sw)\right)\right\rvert_{t=0} \right) \right\rvert_{s=0} = \left. \left( \frac{\partial^2}{\partial s \partial t} f(p + tv + sw) \right) \right\rvert_{t=s=0}$$
que es una "derivada direccional de segundo orden". Primero se diferencia $f$ alrededor de $p$ en dirección a $v$ y obtener una función alrededor de $p$ . Luego se diferencia la función resultante en la dirección de $w$ en $p$ y el resultado es $D^2 f|_{p}(v,w)$ .
Esto se generaliza naturalmente a $Df^{n}$ . La segunda descripción funciona para mapas arbitrarios $f \colon V \rightarrow W$ entre espacios vectoriales reales de dimensión finita (donde $V,W$ no tienen una base natural, por lo que no tiene sentido $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ etc.).
