Uso de la desigualdad de Gronwall con variables aleatorias

Question

Actualmente, he estado trabajando con un SDE y tratando de conseguir un límite en los momentos. Lo tengo en algo de la siguiente forma:

$$X(t)^p \leq a(t) + \int_0^t X(s)^pY(s) ds + \int_0^t X(s)^p dW_s$$

Así que tomar las expectativas da:

$$E[X(t)^p] \leq a(t) + E\left[\int_0^t X(s)^pY(s) ds\right] = E[X(t)^p] \leq a(t) + \int_0^t E\left[X(s)^pY(s)\right] ds$$

Si $X$ y $Y$ fueran independientes, podría utilizar el Teorema de Fubini y obtener un límite fácilmente utilizando la desigualdad de Gronwall. Sin embargo, como $X$ se describe desde un SDE, $X$ y $Y$ son dependientes. El problema de la desigualdad de Holder es que aumentará el poder de $X(s)^p$ dentro de la integral y entonces no se puede utilizar el Lemma de Gronwall. ¿Alguien sabe cómo evitar esto? Yo sé que $X$ es una v.r. positiva y $Y$ tiene una distribución normal, pero no me ayudan mucho esos datos

Answer 1

Puedes probar \begin {align*} E[X(t)^p] & \leq a(t) + \int_0 ^t E \left [X(s)^pY(s) \right ] \N - ds \\ &= \int_0 ^t E \left [X(s)^pY(s)(1_{|Y| \leq M} +1_{|Y| \geq M}) \right ] \N - ds \\ & \leq \int_0 ^t ME \left [X(s)^pY(s)1_{|Y| \leq M} \right ] +E \left [X(s)^pY(s)1_{|Y| \geq M} \right ] \N - ds \\ & \leq \int_0 ^t ME \left [X(s)^p \right ] + e(M) \N - ds \\ & \leq \int_0 ^t ME \left [X(s)^p \right ] \Nde la que se ha hablado + t + e(M) \\ \end {align*}

Ahora usa gronwall $$E[X(t)^p] \leq (a(t) + e(M)t)e^{Mt} = \phi(M) $$

se puede mejorar la desigualdad considerando el infimo en $M$ de $\phi(M)$