Deje $f : (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ ser diferenciable y supongamos que $|f(x)| \leq \frac{C}{x^k}$ ($k$ es no negativa) y esta desigualdad no para un pequeño $k$ (incluso si cambia de $C$). Supongo que esto también se aplica a las $|f'(x)|$, pero con un posible diferente $C$, pero el mismo $k$. Mostrar que $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ existe.
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Lukas Geyer
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Tomando el máximo de las constantes de $f$ $f'$ podemos asumir que $$|f(x)| \le C x^{-k} \text{ and } |f'(x)| \le Cx^{-k} \text{ for all } x>0.$$ Integrating the inequality for $f'$ gives $$|f(x)| \le \begin{cases} C_1 + C_2 x^{-(k-1)} & \text{for } k \ne 1 \\ C_1 + C_2 |\ln x| & \text{for } k=1\end{cases}$$ con algunas constantes $C_1$$C_2$.
Todavía no está absolutamente claro para mí si $k$ se supone que ser entero, y si un límite infinito es permitido o no, pero al menos esta estimación muestra que la suposición de que nunca es satisfecho por $k>1$, como sigue. Para $k>1$ las estimaciones implica que exista $C_3$ con $$ |f(x)| \le C_3 x^{-(k-1)} \text{ for } 0<x<1 $$ and $$ |f(x)| \le C x^{-k} \le C x^{-(k-1)} \text{ for } x \ge 1.$$ Setting $C_4 = \max (C,C_3)$ we get $$ |f(x)| \le C_4 x^{-(k-1)} \text{ for } x>0. $$ This contradicts the assumption that this inequality does not hold for exponents $k'<k$.
Obviamente, el cálculo puede ser satisfecho por $k=0$, y que en caso de acotamiento de la derivada implica que $f$ es uniformemente Lipschitz continua, de ahí que se extiende continuamente a $[0,\infty)$.
Para el caso de $0 < k \le 1$ estoy a la espera de que se aclare la declaración exacta del problema.
