Encontrar el límite (tipo 0/0)

Question

Estoy luchando por encontrar el límite $$I = \lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}$$ Lo que estaba intentando: $$I = \lim_{x\to 0}\frac{1-x + 2\sqrt{1-x} + 1 - (1-x) - 1 - \sqrt[3]{8-x}}{x}$$ $$= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2 - (2-x)- \sqrt[3]{8-x}}{x} \qquad \quad$$ $$= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2 - (2-x+ \sqrt[3]{8-x})}{x} \qquad \qquad$$ $$= \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2}{x} - \lim_{x\to 0}\frac{(2-x+ \sqrt[3]{8-x})}{x} \qquad$$ Gracias a todos por sus respuestas.

Answer 1

Yo sustituiría $$a=\sqrt[3]{8-x}$$ entonces su término viene dado por $$\frac{2\sqrt{a^3-7}-a}{8-a^3}$$ y luego multiplicar el numerador y el denominador por $$2\sqrt{a^3-7}+a$$ y entonces obtendrá $$\frac{(a-2)(14+7a+4a^2)}{-(a-2)(a^2+2a+4)(2\sqrt{a^3-7}+a)}$$

Answer 2

Hasta el último paso su intento es correcto. Sin embargo, el último paso (dividir a dos límites) no está permitido, porque se convierte en la forma indeterminada $\infty-\infty$ . Aquí hay una manera alternativa con la división: $$\lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}=\\\lim_{x\to 0}\frac{(2\sqrt{1-x}-2)+(2-\sqrt[3]{8-x})}{x}=\\ \lim_{x\to 0}\frac{2(\sqrt{1-x}-1)}{x}+\lim_{x\to 0}\frac{2-\sqrt[3]{8-x}}{x}=\\ \lim_{x\to 0}\frac{2(1-x-1)}{x(\sqrt{1-x}+1)}+\lim_{x\to 0}\frac{8-(8-x)}{x(4+2\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{(8-x)^2})}=\\ -1+\frac1{12}=-\frac{11}{12}.$$

Answer 3

En caso de que se permitan las series de Taylor, entonces por expansión de Taylor alrededor de $x=0$ : $$2\sqrt{1-x} = 2\left(1 - {x\over 2} + O(x^2)\right) \sim 2 - x\\ \sqrt[3]{8-x} = 2 - {x\over 12} + O(x^2)\sim2-{x\over 12}$$

Por lo tanto, su límite se convierte en: $$\lim_{x\to0} \frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x} \sim \lim_{x\to0} \frac{2-x - (2-{x\over 12})}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{-x + {x\over 12}}{x} = -{11\over 12}$$

Answer 4

Sólo hay que usar la regla de Cauchy...

$$\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sqrt{1-x}-\sqrt[3]{8-x}}{x}= \lim_{x\to 0} \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{1}{3(8-x)^{2/3}} \right)= -1 + \frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Answer 5

Si ya conoces el concepto de la primera derivada puedes hacer lo siguiente:

$$\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}= \frac{2\sqrt{1-x} - 2}{x} - \frac{\sqrt[3]{8-x}-2}{x} \stackrel{x\to 0}{\longrightarrow} \left.\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{1-x}- \sqrt[3]{8-x}\right) \right|_{x=0}$$

Diferenciación y fijación $x= 0$ da $-\frac{11}{12}$ .