Estoy luchando por encontrar el límite $$I = \lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}$$ Lo que estaba intentando: $$ I = \lim_{x\to 0}\frac{1-x + 2\sqrt{1-x} + 1 - (1-x) - 1 - \sqrt[3]{8-x}}{x} $$ $$ = \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2 - (2-x)- \sqrt[3]{8-x}}{x} \qquad \quad $$ $$ = \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2 - (2-x+ \sqrt[3]{8-x})}{x} \qquad \qquad $$ $$ = \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1-x}+1)^2}{x} - \lim_{x\to 0}\frac{(2-x+ \sqrt[3]{8-x})}{x} \qquad $$ Gracias a todos por sus respuestas.
Respuestas
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Farrukh Ataev
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Hasta el último paso su intento es correcto. Sin embargo, el último paso (dividir a dos límites) no está permitido, porque se convierte en la forma indeterminada $\infty-\infty$ . Aquí hay una manera alternativa con la división: $$\lim_{x\to 0}\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}=\\\lim_{x\to 0}\frac{(2\sqrt{1-x}-2)+(2-\sqrt[3]{8-x})}{x}=\\ \lim_{x\to 0}\frac{2(\sqrt{1-x}-1)}{x}+\lim_{x\to 0}\frac{2-\sqrt[3]{8-x}}{x}=\\ \lim_{x\to 0}\frac{2(1-x-1)}{x(\sqrt{1-x}+1)}+\lim_{x\to 0}\frac{8-(8-x)}{x(4+2\sqrt[3]{8-x}+\sqrt[3]{(8-x)^2})}=\\ -1+\frac1{12}=-\frac{11}{12}.$$
Fr33dan
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En caso de que se permitan las series de Taylor, entonces por expansión de Taylor alrededor de $x=0$ : $$ 2\sqrt{1-x} = 2\left(1 - {x\over 2} + O(x^2)\right) \sim 2 - x\\ \sqrt[3]{8-x} = 2 - {x\over 12} + O(x^2)\sim2-{x\over 12} $$
Por lo tanto, su límite se convierte en: $$ \lim_{x\to0} \frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x} \sim \lim_{x\to0} \frac{2-x - (2-{x\over 12})}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{-x + {x\over 12}}{x} = -{11\over 12} $$
PierreCarre
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zardos
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Si ya conoces el concepto de la primera derivada puedes hacer lo siguiente:
$$\frac{2\sqrt{1-x} - \sqrt[3]{8-x}}{x}= \frac{2\sqrt{1-x} - 2}{x} - \frac{\sqrt[3]{8-x}-2}{x} \stackrel{x\to 0}{\longrightarrow} \left.\frac{d}{dx}\left(2\sqrt{1-x}- \sqrt[3]{8-x}\right) \right|_{x=0}$$
Diferenciación y fijación $x= 0$ da $-\frac{11}{12}$ .
