¿Cómo determinar el intervalo de confianza utilizando el teorema del límite central?

Question

Cómo determinar el intervalo de confianza para el parámetro theta desconocido de la prueba Uniforme( $[0, \theta]$ )utilizando el teorema del límite central, considerando que el nivel de significación está dado y $\theta > 0$ ?

Al generar la muestra, theta debe considerarse como conocida y después debe comprobarse si está o no en el intervalo.

Sé que de alguna manera se puede resolver generando una muestra uniforme, calculando el valor de z y luego utilizando un polinomio con coeficientes $a, b$ y $c$ , generando entonces un $\delta$ y las raíces serán los puntos finales del intervalo, pero no entiendo cómo puedo obtener esos coeficientes. Tengo una muestra de tamaño $N$ y he calculado la media y el valor de z pero estoy atascado en este punto. ¿Cómo puedo calcular esos coeficientes para el polinomio?

Answer 1

CLt es una muy mala elección para calcular su intervalo de confianza. No sé si esto se pregunta explícitamente o es tu propia elección. De todos modos, y en cualquier caso, primero tienes que derivar tu cantidad pivote que es

$$Y=\frac{\text{Max}(X_i)}{\theta}$$

Sabiendo esto, se puede calcular fácilmente un intervalo de confianza basándose en $Y$ y que conduce al siguiente intervalo de confianza:

$$\Bigg[X_{(n)};\frac{X_{(n)}}{\sqrt[n]{\alpha}}\Bigg]$$

Dónde $\alpha$ es el nivel de significación dado y $X_{(n)}$ es el máximo del $X_i$

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Para utilizar el CLT creo que se puede empezar por estimar $\theta$ con el método de los momentos y no con el ML. Así se obtiene

$$\hat{\theta}_{MoM}=2\overline{X}_n$$

Y ahora, asumiendo $n$ lo suficientemente grande, puede utilizar CLT, como $\overline{X}_n$ es asimétricamente Normal (pero es un camino muy feo...)

Answer 2

Para una muestra aleatoria con grandes $n$ podría utilizar el CLT para obtener un IC menos que óptimo para $\theta.$ He aquí un esquema:

• Observe que $E(\bar X_n) = \theta/2.$ Así que podría considerar el estimador insesgado $\hat \theta = 2\bar X_n.$

• Por el CLT, $\hat \theta$ es casi normal. ¿Con qué media y desviación estándar?

• Entonces se puede utilizar un IC del 95% aproximado de la forma $\hat\theta \pm 1.96\, \widehat{\mathrm{SE}}(\hat\theta),$ donde $\widehat{\mathrm{SE}}(\hat\theta)$ estimaciones $\mathrm{SD}(2\bar X_n).$

Nota: El estimador de @tommik (+1) tenderá a ser más corto que los intervalos anteriores. Para $n=20,$ Los IC del 95% anteriores tienen una longitud de unas 2 unidades, mientras que Los IC del 95% basados en el máximo tienen una longitud de unas 0,612 unidades.

He aquí una simulación relevante para el caso $n = 20, \theta=4.$ (Las líneas verticales en los gráficos de los histogramas sugieren las longitudes típicas de los intervalos de confianza del 95% para $\theta$ hechas a partir de las medias y los máximos muestrales, respectivamente).

set.seed(1128)
m = 10^5;  n = 20;  th = 4
x = runif(m*n, 0, th)
MAT = matrix(x, nrow=m)    # mxn matrix, each row is sample of n
th.est = 2*rowMeans(MAT)
mean(th.est);  sd(th.est)
[1] 4.002066               # aprx E(th.est) = 4
[1] 0.5160839
hist(th.est, prob=T, col="skyblue2")
curve(dnorm(x, mean(th.est), sd(th.est)), add=T, col="red", lwd=2)
pm=c(-1,1)
abline(v = mean(th.est)+pm*1.96*sd(th.est))

mx = apply(MAT, 1, max)  # vector of maximums
mx.unb = 21*mx/20
mean(mx.unb)             # aprx E(unb MLE) = 4
[1] 4.000818     
mean(mx/.05^(1/20) - mx)
[1] 0.6156929            # aprx length of 95% CIs based on max
hist(mx.unb, prob=T, col="skyblue2", xlim=c(2,4.5))
 abline(v = c( mean(mx), mean(mx/.05^{1/20})))