Prueba o contraejemplo sobre la convergencia de una serie

Question

Uno de mis profesores me propuso un problema que me tiene perplejo desde hace tiempo. El problema es el siguiente:

Suponga que tiene una secuencia $a_n$ de números reales tal que $$\lim_{n\to\infty} a_{n} = 0$$ y supongamos la secuencia de sumas parciales $s_n$ está acotado. Demostrar que $s_n$ converge o dar un contraejemplo.

Espero poder resolver esto sin que nadie me dé la solución completa, así que si alguien pudiera indicarme la dirección correcta con una pista, sería muy apreciado.

Answer 1

Para tener una respuesta:

$S_n$ no tiene por qué converger. Para ver esto, aquí hay un

Una pista:

Comienza en $0$ . Añade números pequeños hasta que llegues a $1$ . Reste los números más pequeños hasta llegar a $−1$ . Añade números aún más pequeños hasta que llegues a $1$ de nuevo. ...

Tal vez sea una solución completa; pero no se me ocurre ninguna forma de formular una "pista" que sea útil y no sea una solución completa. Quizás el comentario de Prism sea suficiente.

Answer 2

Intenta mostrar la secuencia $a_n = \sin(\ln(n)) - \sin(\ln(n-1))$ es un ejemplo contertulio.