si $f$ es diferenciable en un punto $x$ es $f$ también es necesario lipshitz-continuo en $x$ ?

Question

si $f$ es diferenciable en un punto $x$ es $f$ también es necesario Lipshitz en $x$ ?

Desde $f$ es diferenciable en $x$ , $f$ también es continua en $x$ . Entonces tenemos el $\varepsilon$ - $\delta$ definición de $f$ continua en $x$ y también tenemos $f'(x)$ existe. Pero no tengo ni idea de cómo conectarlos. Desde $f$ sólo es diferenciable en un punto, no creo que el teorema del valor medio funcione aquí tampoco.

Answer 1

Si $f$ es diferenciable en $x_0$ , entonces para todos los $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ de manera que si $\|x-x_0\|< \delta$ entonces $\|f(x)-f(x_0)-DF(x_0)(x-x_0)\| \leq \epsilon \|x-x_0\|$ . S, elige $\epsilon=1$ entonces la estimación da $\|f(x)-f(x_0)\|-\|DF(x_0)(x-x_0)\| \leq \|x-x_0\|$ que puede escribirse como $\|f(x)-f(x_0)\| \leq (1+\|Df(x_0)\|) \|x-x_0\|$ . Configuración $L = 1+\|Df(x_0)\|$ muestra que $\|f(x)-f(x_0)\| \leq L \|x-x_0\|$ localmente.

Sin embargo, ser diferenciable en un punto no significa que $f$ es localmente Lipschitz. Por ejemplo, dejemos que $f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x^2}$ . $f$ es diferenciable en $x=0$ pero no es localmente Lipschitz alrededor de $x=0$ ( $f'(x)$ no tiene límites cerca de $x=0$ ).

Si la función es diferenciable, entonces es localmente Lipschitz en una vecindad si la derivada está acotada en la vecindad .

Answer 2

La continuidad de Lipschitz es más fuerte que la simple continuidad. Si la función $f$ es continuamente diferenciable en $x_0$ se puede encontrar una constante de Lipschitz utilizando una serie de Taylor o un teorema del valor medio para la derivada que asumirá su máximo finito en un pequeño intervalo compacto alrededor de $x_0$ (que será la constante local de Lipschitz). Lo mismo ocurre con cualquier función cuya derivada esté acotada localmente cerca de $x_0$ . Pero hay funciones que son diferenciables en un punto pero no son continuas de Lipshitz. Me quedé en blanco con un ejemplo, y robé esto de la Wikipedia - una función diferenciable en el conjunto compacto $[0, 1]$ que no es Lipshitz:

$$f(x) = x^{\frac{3}{2}} \sin(\frac{1}{x}), \, x != 0; \quad f(0) = 0$$