Límite de secuencias ( $\lim x_n = a > 0 \Rightarrow \lim x_n ^{1/k} = a^{1/k}$ )

Question

Necesito demostrar que si $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una secuencia tal que $\lim x_n = a>0$ entonces $\lim \sqrt[k]{x_n} = \sqrt[k]{a}$ .

Se sugirió utilizar la igualdad $(x-a) = (x^{1/k} - a^{1/k})\left(\sum_{i=0}^{k-1} x^{i/k} a^{-i + 1/k} \right)$ y estaba pensando en utilizar la definición a esta prueba (ya que no sé todavía lo que es $ \lim x_n^{p/q} $ ). Pero, si se obtiene un $x_j$ tal que $x_j <0$ , si k es par $x_j^{1/k}$ no está bien definida en $\mathbb{R}$ y no sé, en este caso, si puedo decir que

$n \geq n_{\epsilon} \Rightarrow |x_n - a| < \epsilon \leq \epsilon.|\sum_{i=0}^{k-1}(...)| $

Entonces, ¿qué debo hacer en este caso? ¿Cambiar la prueba para "eliminar" el problema o no debemos considerar esta condición? Sé que la secuencia debe tener al menos un número positivo porque su límite es positivo.

¡gracias por la ayuda!

Answer 1

Usted sabe que $\lim x_n = a > 0$ . Toma $\epsilon = \frac{a}{2} > 0$ en el $\epsilon/\delta$ definición de un límite: se puede encontrar $N$ tal que para todo $n \geq N$ , $|x_n-a| \leq \frac{a}{2}$ .

Debido a la desigualdad del triángulo, esto implica $x_n \geq \frac{a}{2} > 0$ para $n \geq N$ .

Para concluir el ejercicio, observe que para cada $n \geq N$ la identidad sugerida da como resultado $$ |x_n - a| \geq |\sqrt[k]{x_n}-\sqrt[k]{a}|\cdot a^{\frac{k-1}{k}} $$ que proporciona un límite superior $|\sqrt[k]{x_n}-\sqrt[k]{a}| \leq C\, |x_n - a|$ con $C = a^{\frac{1-k}{k}} > 0$ .

Answer 2

Como sólo se quiere el límite para valores grandes de $n$ se puede empezar después de todos los valores negativos de $x_n$ . Digamos que para $n>N$ . Pero, ¿cómo puede estar seguro de que el $x_n$ son (después de un tiempo) siempre positivos? Compruebe la definición de limitar .