¿Por qué la variable aleatoria binomial negativa utiliza ${n-1 \choose r-1}$ en lugar de ${n \choose r}$ como coeficiente?

Question

La variable aleatoria binomial negativa funciona así, pero ¿puede explicar por qué usamos ${n-1 \choose r-1}$ en lugar de ${n \choose r}$ ?

$$P(X=x) = {x-1\choose r-1}(1-p)^{x-r}p^r$$

Answer 1

Razón básica por la que el uso de ${n-1} \choose {r-1} $ radica en la descripción de la situación en la que se produce el binomio negativo.Queremos el enésimo éxito en el enésimo ensayo.Por lo tanto, $r-1$ éxito en $n-1$ y la enésima prueba es un éxito. $n-1 \choose r-1 $ .

Ahora puedes redefinir la situación en la que $n \choose r$ tiene sentido, pero intente hacerlo, no es muy fácil de percibir.

EDIT:Como se pide en los comentarios,poca elaboración.

Empecemos desde cero: Nosotros quiere primero $n-1$ los juicios resultan en $r-1$ éxitos y $(n-1)-(r-1)=n-r$ Cualquiera de $r-1$ de $n-1$ ensayos pueden ser un éxito, y permanecer $n-r$ deben ser fallos (tenga en cuenta que la elección de $r-1$ el éxito también arregla $n-r$ fracasos.Por lo tanto ${n-1 \choose r-1} \times p^{r-1} \times {(1-p)}^{n-r}$ . Ahora el último ensayo debe ser un éxito, cuya probabilidad es $p$ Por lo tanto, multiplicamos por $p$ y obtener la respuesta requerida.

Espero que esto ayude.

Answer 2

No sé, tal vez para la suma de NB independientes $(r,p)$ y NB $(s,p)$ para ser NB $(r+s,p)$ .

Un poco menos convincente: para NB $(r,p)$ para ser geométrico cuando $r=1$ .