Medidas continuas singulares "en la naturaleza"

Question

Según el teorema de descomposición de Lebesgue, existen 3 tipos básicos de medidas sobre $\mathbb R^n$ Medidas continuas (las que tienen una densidad), medidas discretas y medidas continuas singulares (las que se apoyan en un conjunto Lebesgue-nulo, pero con una CDF continua).

Los dos primeros tipos se encuentran obviamente en innumerables contextos. Sin embargo, los únicos ejemplos del tercer tipo que conozco son bastante artificiales (por ejemplo, la medida de Cantor).

¿Un estadístico en activo tendrá alguna vez ocasión de trabajar con una medida continua singular?

Answer 1

Cualquier transformación que le haga perder alguna dimensión transformará una medida continua en una medida de tipo tres. Por ejemplo, si tiene una medida en $\mathbb R^n$ la medida inferida por la transformación $\mathbf x \rightarrow \frac{\mathbf x}{\lVert \mathbf x \rVert}$ tendrá un soporte que es Lesbegue-nulo en $\mathbb R^n$ . Lo mismo ocurrirá con cualquier transformación lineal de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^n$ que no está en (el $n\times n$ la matriz de transformación no es de rango completo).

Este escenario parece algo tramposo sobre el problema pero creo que lo que te molesta es que el Cantor no tiene dimensión entera lo que lo hace menos intuitivo para nosotros.