Una cuestión relacionada con la topología de los conjuntos de niveles de un tipo particular de funciones suaves $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ .

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ sea una función suave sin puntos críticos; es decir, tal que $\nabla f(x)\neq (0,0)$ para todos $x\in\mathbb{R}^2$ . ¿Es cierto o falso que todas las curvas de nivel de $f$ son homeomórficos?

Ya he señalado que esto es cierto dando ejemplos triviales (por ejemplo, di una función suave tal que $f^{-1}(a)=\emptyset$ y $f^{-1}(b)\neq\emptyset$ para algunos $a,b\in\mathbb{R}$ ). Pero me gustaría conocer un ejemplo no trivial.

Espero que puedan ayudarme.

Gracias de antemano.

Answer 1

Su comentario parece ir muy bien encaminado. El $\nabla f \ne 0$ nos dice que las curvas de nivel son submanifolds incrustados. Podemos excluir las curvas cerradas utilizando la condición de gradiente junto con las propiedades topológicas de $\mathbb R^2$ (por ejemplo, el teorema de la curva de Jordan + el teorema del valor extremo), pero es posible que los conjuntos de niveles sean una unión de múltiples líneas; y el número de líneas/componentes conectados es no necesariamente un invariante de la función. Consideremos

$$f(x,y) = x^2 + \eta(x) y$$

donde $\eta$ es la función de bacheo

$$ \eta(x) = \begin{cases}\exp( x^2/(x^2 - 1)) & |x| < 1 \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}$$

Se puede comprobar fácilmente que $f$ es suave y sin puntos críticos. Los conjuntos de niveles $f^{-1}(c)$ para $c \ge 1$ tienen tres componentes conectados mientras que para $c<1$ tienen uno:

En cierto sentido, el cambio de topología se produce en el infinito, por lo que los argumentos de la teoría de Morse que funcionan en el caso compacto no se aplican aquí: como $c \nearrow 1$ la región $f < c$ "le crecen los cuernos". Aquí hay un primer plano de lo que estoy hablando: