Encontrar el resto cuando $(x+1)^n$ dividido por $x^2+1$

Question

Puse $(x+1)^n=p(x)(x^2+1)+bx+c$ para algunos $p(x)$ como el otro ejercicio en el que pedíamos encontrar el resto cuando un polinomio se divide por otro polinomio. Pero para hacer $p(x)(x^2+1)$ ir para poder encontrar $b,c$ Tengo que poner $x=i$ que es algo que no debería poner después de todo. Entonces me vino a la cabeza la idea de que el propio resto es $(x+1)^n$ pero me di cuenta de que si ponía $n=2$ entonces el resto es $2x$ . ¿Alguna idea de cómo solucionar esto?

Answer 1

pista

Si sustituimos $ x $ por $ i $ y $ -i $ obtenemos

$$(1+i)^n=bi+c$$ $$(1-i)^n=-bi+c$$

así $$c=\frac{(1+i)^n+(1-i)^n}{2}$$ $$b=\frac{(1+i)^n-(1-i)^n}{2i}$$

con $$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$$ y $$1-i=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}$$

esto da $$c=2^{\frac n2}\cos(n\frac{\pi}{4})$$ $$b=2^{\frac n2}\sin(n\frac{\pi}{4})$$

Answer 2

Aviso, $(x^2+1)$ se puede factorizar en forma lineal $(x+i)(x-i)$

Según teorema del resto el resto cuando $(x+1)^n$ se divide por $(x-i)$ es $(i+1)^n$ (es decir, obtenida mediante la sustitución de $x=i$ en $(x+1)^n$ ) que puede simplificarse como sigue $$(1+i)^n=(\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}})^n=2^{n/2}e^{i\frac{n\pi}{4}}$$ Del mismo modo, el resto cuando $(x+1)^n$ se divide por $(x+i)$ es $(-i+1)^n$ (es decir, obtenida mediante la sustitución de $x=-i$ en $(x+1)^n$ ) que puede simplificarse como sigue $$(1-i)^n=(\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}})^n=2^{n/2}e^{-i\frac{n\pi}{4}}$$