La función Zeta de Riemann se define para $s > 1$ como
\begin {align} & \prod _{n=1}^{ \infty } \dfrac {1}{1 -\\\Nde p_{n}^\\Nde -s} \\ \end {align}
Es posible extender la función zeta a los semiprimas con
\begin {align} & \prod _{n=1}^{ \infty } \dfrac {1}{1 -\\Nde q_{n}^{\N}s}} \\ \end {align}
donde $q$ pasa por los semiprimas $4,6,9\ldots$
y análogamente, para todos los casi primos. A continuación se muestra un gráfico de las funciones zeta para los k-casi primos $1\leq k\leq 6$ :
Sospecho que estas funciones son bastante difíciles de abordar analíticamente. Sin embargo, es interesante que parece que $\zeta(2s)$ limita la función zeta semiprima desde abajo:
y así sucesivamente, aunque el límite se debilita progresivamente... ¿es probable que esta afirmación sea cierta?
\begin {align} & \prod _{i=1}^n \frac {1}{ \left (1-p_i{}^{1-c s} \right )^{c}} \end {align}
con $c=e+k-2$ está más cerca (aunque no es un límite inferior). En $k=2$ (es decir, zeta semiprima):
Los recíprocos de k-casi primos han sido estudiados por Richard J. Mathar (dado en el enlace de la secuencia OEIS aquí ), pero no conozco ninguna referencia a las funciones zeta extendidas como se ha indicado anteriormente. Estaría agradecido si alguien conoce alguna investigación en este ámbito, o puede arrojar más luz sobre estas funciones.
